《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

7. [2025 河南南阳六校联考]下列说法正确的是
(ABC)

A.若随机变量$X$服从两点分布，且$P(X=0)=\frac{2}{3}$，则$E(X)=\frac{1}{3}$
B.若随机变量$X$服从二项分布$B(8,\frac{2}{3})$，且$Y=3X-1$，则$E(Y)=15$，$D(Y)=16$
C.从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为$X$，则$E(X)=\frac{3}{4}$
D.已知随机变量$\xi\sim N(\mu,\sigma^{2})$，若$P(X＞-2)+P(X\geq6)=1$，则$\sigma=2$

答案： 7. ABC 对于 A,由题意知 $P(X = 1)=\frac{1}{3}$,所以 $E(X)=0×\frac{2}{3}+1×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$,故 A 正确.对于 B,因为随机变量 $X$服从二项分布 $B(8,\frac{2}{3})$,所以 $E(X)=8×\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$,$D(X)=8×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{16}{9}$,又 $Y = 3X - 1$,所以 $E(Y)=3E(X)-1=15$,$D(Y)=9D(X)=16$,故 B 正确.对于 C,解法 1 由于 $X$服从超几何分布,故 $E(X)=\frac{nM}{N}=2×\frac{3}{8}=\frac{3}{4}$,故 C 正确.解法 2 $X$的可能取值为 0,1,2,所以 $P(X = 0)=\frac{\mathrm{C}_{8}^{3}}{\mathrm{C}_{8}^{3}}=\frac{10}{28}$,$P(X = 1)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{8}^{3}}=\frac{15}{28}$,$P(X = 2)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{5}^{1}}{\mathrm{C}_{8}^{3}}=\frac{3}{28}$,所以 $E(X)=0×\frac{10}{28}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{28}=\frac{3}{4}$,故 C 正确.对于 D,由 $P(X＞-2)+P(X\geq6)=1$,得 $6-\mu=\mu-(-2)$,解得 $\mu = 2$,故 D 错误.

8. [2025 河北石家庄阶段测试]月饼象征着团圆和丰收，是中国汉族的传统美食之一，不仅味道鲜美，而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是
(AD)

A.从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是$\frac{1}{12}$
B.依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，在第一盒是肉松月饼的条件下，第二盒是果蔬月饼的概率是$\frac{1}{12}$
C.先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的是肉松月饼的概率是$\frac{1}{12}$
D.先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱中取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是$\frac{1}{5}$

答案： 8. AD 对于 A,从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是 $P_1=\frac{\mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{5}^{2}}=\frac{1}{12}$,故 A 正确;对于 B,依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼,在第一盒是肉松月饼的条件下,第二盒是果蔬月饼的概率为 $P_2=\frac{\frac{3}{9}×\frac{2}{8}}{\frac{3}{9}}=\frac{1}{4}$,故 B 错误;对于 C,先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱,再从乙箱中随机取出一盒月饼,则乙箱取出的是肉松月饼的概率是 $P_3=\frac{3}{9}×(\frac{4}{10}+\frac{6}{10}×\frac{3}{10})=\frac{1}{3}$,故 C 错误;对于 D,先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱,再从乙箱中随机取出一盒月饼,若从乙箱中取出的是肉松月饼,则从甲箱中取出果蔬月饼的概率为 $P_4=\frac{\frac{2}{9}×\frac{3}{10}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{5}$,故 D 正确.

9. 甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码，每一局后，负的一方需将自己的一枚筹码给对方；若平局，则双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3，乙胜的概率为0.2，用$P_{i=}(i=0,1,·s,6)$表示“在甲拥有的筹码为$i$枚时，最终甲获胜的概率”，则
(ACD)

A.将第一局比赛后甲的筹码个数记为$X$，则$E(X)=3.1$
B.四局比赛后，比赛结束的概率为0.0405
C.$P_{0}+P_{6}=1$
D.$P_{2}-P_{1}=\frac{2}{3}(P_{1}-P_{0})$

答案： 9. ACD 对于 A,$X$的所有可能取值为 2,3,4,$P(X = 2)=0.2$,$P(X = 3)=0.5$,$P(X = 4)=0.3$,$E(X)=2×0.2 + 3×0.5+4×0.3=1.1$,故 A 正确;对于 B,当四局比赛后,比赛结束且甲胜时,第四局比赛甲胜,前三局比赛甲 2 胜 1 平,其概率为 $\mathrm{C}_{3}^{2}×0.3^{2}×0.5×0.3=0.0405$,当四局比赛后,比赛结束且乙胜时,第四局比赛乙胜,前三局比赛乙 2 胜 1 平,其概率为 $\mathrm{C}_{3}^{2}×0.2^{2}×0.5×0.2=0.012$,所以四局比赛后,比赛结束的概率为 $0.0405 + 0.012=0.0525$,故 B 错误;对于 C,D,因为 $P_4(i = 0,1,2,3,4,5,6)$表示“在甲拥有的筹码为 $i$枚时,最终甲获胜的概率”,则 $P_0 = 0$,$P_6 = 1$,所以 $P_0+P_6 = 1$,当甲拥有 1 枚筹码时,下局甲胜且最终甲获胜的概率为 $0.3P_2$,当甲拥有 1 枚筹码时,下局平局且最终甲获胜的概率为 $0.5P_1$,当甲拥有 1 枚筹码时,下局乙胜且最终甲获胜的概率为 $0.2P_0$,根据全概率公式得 $P_1=0.3P_2+0.5P_1+0.2P_0$,变形得 $0.3(P_2 - P_1)=0.2(P_1 - P_0)$,即 $P_2 - P_1=\frac{2}{3}(P_1 - P_0)$,故 C,D 正确.