《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

6. 已知由样本数据点集合$\{(x_i,y_i)|i = 1,2,·s,n\}$求得的经验回归直线$l_1$的方程为$\hat{y} =$
$1.5x + 0.5$，且$\bar{x} = 3$. 现发现两个数据点$(1.3,2.1)$和$(4.7,7.9)$误差较大，去除这两点后重新求得的经验回归直线$l_2$的斜率为 1.2，则下列结论正确的是

A.变量$x$与$y$具有负相关关系
B.去除后的$y$的预测值增加速度变快
C.去除后的经验回归方程为$\hat{y} = 1.2x + 1.6$
D.去除后相应于样本点$(2,3.75)$的残差为$-0.05$

答案： 6. D 对于A，因为去除前经验回归直线$l_1$的斜率为1.5，重新求得的经验回归直线$l_2$的斜率为1.2，两者均大于0，所以变量$x$与$y$具有正相关关系，故A错误；对于B，去除前经验回归直线$l_1$的斜率为1.5，去除后经验回归直线$l_2$的斜率为1.2，去除前的斜率大于去除后的斜率，所以去除后$y$的预测值增加速度变慢，故B错误；对于C，去除前$\bar{x}=3$，则可得$\bar{y}=5$，设$x_1 = 1.3$，$x_2 = 4.7$，$y_1 = 2.1$，$y_2 = 7.9$，则去除后样本中心点设为$(\bar{x}_0,\bar{y}_0)$，所以$\bar{x}_0=\frac{x_3 + ·s + x_n}{n - 2}=\frac{x_1 + x_2 + x_3 + ·s + x_n - 1.3 - 4.7}{n - 2}=\frac{3n - 6}{n - 2}=3$，$\bar{y}_0=\frac{y_3 + ·s + y_n}{n - 2}=\frac{y_1 + y_2 + y_3 + ·s + y_n - 2.1 - 7.9}{n - 2}=\frac{5n - 10}{n - 2}=5$，又因为经验回归直线$l_2$的斜率为1.2，所以去除后的经验回归方程为$\hat{y}=1.2x + 1.4$，故C错误；对于D，由C选项可知，去除后的经验回归方程为$\hat{y}=1.2x + 1.4$，当$x = 2$时，$\hat{y}=3.8$，则残差为$3.75 - 3.8 = -0.05$，故D正确.

7. 使用经验回归方程进行预测时，下列结论正确的是

A.经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
B.经验回归方程一般都有时效性
C.解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预报效果越好
D.经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值

答案： 7. AB 对于A，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体，故A正确；对于B，经验回归方程适用于有相关关系的两个变量，两者的变化可能会随时间的推移，互相影响的情况有所不同，因此经验回归方程一般都有时效性，故B正确；对于C，解释变量的取值范围会影响经验回归方程的适用范围，解释变量的取值离样本数据的范围越远，经验回归方程的预测效果越差，故C错误；对于D，经验回归方程得到的是响应变量的预测值，不是响应变量的精确值，故D错误.

8. 下列命题正确的是

A.线性回归模型中，决定系数$R^2$越大，残差平方和越小，模型拟合得越好
B.经验回归直线至少会经过其中一个样本点$(x_i,y_i)$
C.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D.用$y = ae^{bx}$模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设$z = \ln y$，将其变换后得到线性方程$z = 4x + \ln 3$，则$a$，$b$的值分别为 3，4

答案： 8. ACD 对于A，在线性回归模型中，决定系数$R^2$越大，即残差平方和越小，所以拟合效果越好，故A正确；对于B，回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$不一定过样本点，故B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模拟的拟合精度越高，故C正确；对于D，$y = ae^{kx}$，两边取对数，可得$\ln y=\ln(a· e^{kx})=\ln a+\ln e^{kx}=\ln a + kx$，令$z = \ln y$，可得$z = \ln a + kx$，因为$z = 4x + \ln 3$，所以$\ln a = \ln 3$，$k = 4$，即$a = 3$，$k = 4$，故D正确.

9. 教材变式 根据变量$Y_1$和$x$的成对样本数据，由一元线性回归模型①$\begin{cases}Y_1 = b_1x + a_1 + e_1,\\E(e_1) = 0,D(e_1) = \sigma_1^2\end{cases}$得到经验回归方程$\hat{y} = \hat{b}_1x + \hat{a}_1$，对应的残差如图 1 所示. 根据变量$Y_2$和$x$的成对样本数据，由一元线性回归模型②$\begin{cases}Y_2 = b_2x + a_2 + e_2,\\E(e_2) = 0,D(e_2) = \sigma_2^2\end{cases}$得到经验回归方程$\hat{y} = \hat{b}_2x + \hat{a}_2$，对应的残差如图 2 所示，则


A.模型①的误差满足一元线性回归模型的$E(e_1) = 0$的假设，不满足$D(e_1) = \sigma_1^2$的假设
B.模型①的误差不满足一元线性回归模型的$E(e_1) = 0$的假设，满足$D(e_1) = \sigma_1^2$的假设
C.模型②的误差满足一元线性回归模型的$E(e_2) = 0$的假设，不满足$D(e_2) = \sigma_2^2$的假设
D.模型②的误差满足一元线性回归模型的$E(e_2) = 0$的假设，满足$D(e_2) = \sigma_2^2$的假设

答案： 9. AD 对于模型①对应的散点，可以看出残差大致绕着0值分布，没有明显的趋势或系统偏差，因此随机误差满足$E(e_1)=0$的假设，但是方差$\sigma_1^2$随着$x$的变化而变化，不满足$D(e_1)=\sigma_1^2$的假设；对于模型②对应的散点，均匀分布在水 带状区域内，随机误差满足$E(e_2)=0$的假设，方差$\sigma_2^2$不随$x$的变化而变化，满足$D(e_2)=\sigma_2^2$的假设.
教材链接（选择性必修三复习参考题8第2题改编）