《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. [2025 浙江宁波九校期末]为了推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年4月23日为“世界读书日”.某高中为了促进学生阅读，组织了一场知识竞赛，比赛以班级为单位参与，分为预选赛和决赛.预选赛的规则是每个班在规定的时间内分别答题，答对题目数量最多的前两个班进入决赛.决赛规则是两个班轮流答题，无论是否答对，第一个班答完后，第二个班即开始答题.
(1) 若甲班在预选阶段前2道题每题答对的概率都是$\frac{2}{3}$，从第3题开始，每道题答对的概率是$\frac{1}{2}$，用$X$表示在前4次答题中答对的题目数量，求$E(X)$.
(2) 若乙班在预选阶段每道题答对的概率都是$\frac{3}{5}$，用$Y$表示乙班在前10次答题中答对的次数，以概率作为判断标准，乙班最有可能答对的题目数量是多少？
(3) 为了增加比赛的趣味性，在决赛中增加如下环节：抽签决定先回答问题的班级，第一道题目由主持人给出，第一个班级在答完题目后，选择一个题目给另一个班级作答，然后抽签决定第二轮首先回答问题的班级，以此类推，当两个班级都答过一次题目后称为一轮比赛.一轮比赛中，如果只有一个班级答对，那么答对的班级得1分，答错的班级得－1分；如果两个班级都答对或者都答错，那么均得0分.用事件$A,B$分别表示在一轮比赛中甲班和乙班答对题目.已知$A,B$满足：①$P(B|A)=P(B|\overline{A})$；②$P(A|B)+P(\overline{A}|\overline{B})=1$，从以上两个条件中任选一个判断$A,B$的关系，并在$P(A)=\frac{1}{2}$，$P(B)=\frac{3}{5}$的条件下计算经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率.

答案： 14. 解:
(1) $X$的所有可能取值为 0,1,2,3,4,$P(X = 0)=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{36}$,$P(X = 1)=\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$,$P(X = 2)=(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{1}{2})^{2}+\mathrm{C}_{3}^{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\mathrm{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+(\frac{1}{3})^{2}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{13}{36}$,$P(X = 3)=\mathrm{C}_{3}^{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\mathrm{C}_{3}^{2}×(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$,$P(X = 4)=(\frac{2}{3})^{2}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{9}$,所以 $E(X)=0×\frac{1}{36}+1×\frac{1}{6}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{9}=\frac{7}{3}$.
(2) $Y\sim B(10,\frac{3}{5})$,假设最有可能答对题目的数量是 $k$道,则 $P(X = k)\geq P(X = k + 1)$,$P(X = k)\geq P(X = k - 1)$,即 $\begin{cases}\mathrm{C}_{10}^{k}×(\frac{3}{5})^{k}×(\frac{2}{5})^{10 - k}\geq\mathrm{C}_{10}^{k + 1}×(\frac{3}{5})^{k + 1}×(\frac{2}{5})^{10 - k - 1},\\\mathrm{C}_{10}^{k}×(\frac{3}{5})^{k}×(\frac{2}{5})^{10 - k}\geq\mathrm{C}_{10}^{k - 1}×(\frac{3}{5})^{k - 1}×(\frac{2}{5})^{10 - k + 1}.\end{cases}$解得 $\frac{28}{5}\leq k\leq\frac{33}{5}$,又 $k\in\mathbf{N}^*$,所以 $k = 6$,即乙班最有可能答对 6 道题.
(3)选择①.由 $P(B|A)=P(B|\overline{A})$,知 $P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=P(B|A)$,故 $P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)$,即 $A,B$相互独立.选择②.由 $P(A|B)+P(\overline{A}|B)=1$,知 $P(A|B)=1 - P(\overline{A}|B)=P(A|\overline{B})$,即 $\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=\frac{P(A)-P(AB)}{1 - P(B)}$,可得 $P(AB)=P(A)P(B)$,即 $A,B$相互独立.设事件 $C=$“经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同”,则 $P(C)=P(AB)+P(\overline{A}\overline{B})=P(A)P(B)+P(\overline{A})P(\overline{B})=\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{1}{2}$,故经过一轮比赛后甲、乙两班得分相同的概率为 $\frac{1}{2}$.