《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. 已知某年级有 6 个班，现选派了 3 位数学老师任教，每位教师教 2 个班，则不同的任课方法有种.

答案： 10. 90 分三步:第一步,给第一位老师安排2个班,有$C_{6}^{2}$种方法;第二步,给第二位老师安排2个班,有$C_{4}^{2}$种方法;第三步,给第三位老师安排2个班,有$C_{2}^{2}$种方法.所以不同的任课方法共有$C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=90$(种).

11. 将分别写有 2,0,2,6 的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数(首位不为 0)，则组成的不同四位数的个数为(用数字作答).

答案： 11. 9 排数字0有$C_{3}^{1}$种方法,排数字2有$C_{2}^{1}$种方法,排数字6有1种方法,所以组成的不同四位数的个数是$C_{3}^{1}C_{2}^{1}C_{1}^{1}=9$.

12. 甲、乙、丙 3 人去食堂用餐，每个人从 A,B,C,D,E 这 5 种菜中任意选用 2 种，则 A 恰有 2 人选用的情形共有种(用数字作答).

答案： 12. 288 A恰有2人选用的情形共有$C_{3}^{2}C_{4}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}=3×4×4×6 = 288$(种).

13. 从一副扑克牌的 52 张(除去大王、小王)中选取 5 张，求：
(1) 4 张 A 全部被选取的选法总数；
(2) 四种花色齐全的选法总数；
(3) 5 张点数都不同的选法总数；
(4) 3 张点数相同，另 2 张点数也相同的选法总数.

答案： 13. 解:
(1)4张A必须全部被选取,再从剩下的48张中选取一张有$C_{48}^{1}$种,所以4张A必须全抽取的选法总数为48.
(2)四种花色齐全,则存在某一种花色被选2张,有4种选法,所以四种花色齐全的选法有$4C_{13}^{2}C_{13}^{1}C_{13}^{1}C_{13}^{1}=685464$(种).
(3)依题意,先从同色的13张中选5张有$C_{13}^{5}$种选法,每一张再选不同花色,所以共有$4^{5}· C_{13}^{5}=1317888$(种)选法.
(4)依题意,先从同色的13张中选2张有$C_{13}^{2}$种选法,然后选其中的一张作为点数相同的3张中的1张,有2种可能,3张点数相同的花色选法有$C_{4}^{3}$种,另2张点数也相同的花色有$C_{4}^{2}$种选法,则共有$2C_{13}^{2}C_{4}^{3}C_{4}^{2}=3744$(种)选法.

14. 已知方程$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12$，则该方程正整数解的组数为，该方程自然数解的组数为.

答案： 14. 165 455 前一空相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子中,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得原方程正整数解的组数为$C_{11}^{3}=165$.后一空可将原方程转化为$(x_{1}+1)+(x_{2}+1)+(x_{3}+1)+(x_{4}+1)=16$,
所以问题相当于将16个完全相同的小球放入4个不同的盒子中,且每个盒子中至少放入1个小球,使用“隔板法”得原方程自然数解的组数为$C_{15}^{3}=455$.
核心笔记
1. 组合中的“至少”与“至多”问题:首先明确“至少”与“至多”的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解这类题,遇到用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.(练习运用:第3,5题)
2. 隔板法:在$n$个元素间的$(n - 1)$个空中插入$b$个隔板,可以把$n$个元素分成$(b + 1)$组的方法.应用隔板法必须满足三个条件:
(1)这$n$个元素必须相同;
(2)所分成的每一组至少分得一个元素;
(3)分成的组别彼此相异.(练习运用:第14题)
3. 对于“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(练习运用:第13题)
4.
(1)“一次抽取多个”与“多次抽取,每次一个”问题:“一次抽取多个”属于组合问题,“多次抽取,每次一个”属于排列问题.
(2)元素受限问题,容易分类错误.
(3)有序与无序问题,如任课是组合问题,排课是排列问题.(练习运用:第10题)