《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. $[2025$江苏南京五校联盟期中$]$已知$(1+x-2x^{2})^{10}=a_{0}+a_{1}x+·s+a_{20}x^{20}$,则$a_{3}=$
-60.

答案： 10. $- 60$ 由题可知$a_{3}$是含$x^{3}$的项的系数，若从10个$(1 +$
$x - 2x^{2}$)式子中取出0个$( - 2x^{2})$，则需要从中取出3个$x$，7个1，得到的项为$C_{10}^{0}( - 2x^{2})^{0}C_{10}^{3}x^{3}C_{17}^{7} = 120x^{3}$；若从10个$(1 + x - 2x^{2}$)式子中取出1个$( - 2x^{2})$，则需要从中取出1个$x$，8个1，得到的项为$C_{10}^{1}( - 2x^{2})^{1}C_{1}x C_{18}^{8} = - 180x^{3}$；若从10个$(1 + x - 2x^{2}$)式子中取出2个或2个以上$( - 2x^{2})$，则无法得到含$x^{3}$的项. 综上，含$x^{3}$的项为$120x^{3} - 180x^{3} =$
$- 60x^{3}$，即$a_{3} = - 60$.

11. $[2025$安徽合肥一中期中$]$李华同学忘记了自己的手机解锁密码，但记得手机解锁密码是由一个1,一个2,两个5和两个6组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的手机解锁密码最多需尝试的次数为180(用数字作答).

答案： 11. 180 将这6个数字全排列，有$A_{6}^{6}$种情况，而这6个数字中有两个5和两个6，则可以组成$\frac{A_{6}^{6}}{A_{2}^{2}A_{2}^{2}} = 180$(个)六位数，那么他找到自己的手机解锁密码最多尝试180次，

12. $[2025$河南洛阳期中$]$目前河南省高中数学试卷中多选题的计分标准如下:①本题共3小题,每小题6分,满分18分;②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分;③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分;若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分).已知在某次高中数学考试中，洛洛同学三个多选题中第一小题和第二小题都随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，他的多选题的总得分(相同总分只记录一次)共有$n$种情况，则$7^{n}$除以64的余数是17.

答案： 12. 17 由题意知，这位同学第一小题和第二小题都可能得0分，4分或6分，第三小题可能得0分，2分或3分. 当第三题得0分时，总得分可能为0，4，6，8，10，12；当第三题得2分时，总得分可能为2，6，8，10，12，14；当第三题得3分时，总得分可能为3，7，9，11，13，15. 所以这位同学的多选题所有可能的总得分(相同总分只记录一次)为0，2，3，4，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即$n = 14$，则$7^{14} = (8 - 1)^{14} =$
$C_{14}^{0}8^{14} - C_{14}^{1}8^{13} + C_{14}^{2}8^{12} - ·s + C_{14}^{8}8^{12} - C_{14}^{13}8^{1} + C_{14}^{14} = (C_{14}^{0}8^{12} -$
$C_{14}^{1}8^{11} + C_{14}^{2}8^{10} - ·s + C_{14}^{14}) × 64 - C_{14}^{13}8 +$
$C_{14}^{14}. 又 - C_{14}^{13} × 8 +$
$C_{14}^{14} = - 14 × 8 + 1 = - 111$，$- 111 = - 2 × 64 + 17$，所以$7^{14}$除以64的余数是17.

13. $[2025$湖北武汉期中$]$混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.
(1)一共抽取4次时检测结束，有多少种不同的抽法?
(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，则检测结束时有多少种不同的抽法?
(注:结果以数字呈现)

答案： 13. 解：
(1)有以下两种情况：①4次均为正品，共有$A_{4}^{4}=24$（种）不同的抽法；②前3次抽到2件正品1件次品，且第4次抽到次品，共有$C_{4}^{2}C_{2}^{1}A_{3}^{3}=72$（种）不同的抽法. 所以共有$24 + 72 = 96$（种）不同的抽法.
(2)由题意知，第二次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束. 第1次抽到的是次品有$C_{2}^{1}$种抽法，第2次抽到的是正品有$C_{4}^{1}$种抽法，第3次抽到的是正品有$C_{3}^{1}$种抽法.当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有$C_{2}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}=24$（种）不同的抽法；当抽取5次结束时，若第4次抽到正品且第5次抽到正品，则共有$C_{2}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}C_{2}^{1}=48$（种）不同的抽法，若第4次抽到正品且第5次抽到次品，则共有$C_{2}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}C_{1}^{1}=48$（种）不同的抽法.综上所述，共有$24 + 48 + 48 = 120$（种）不同的抽法.