《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 教材变式 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，4，5，用$X$表示小球落入格子的号码，则下列计算正确的是
(ACD)


A.$P(X=0)=\frac{1}{32}$
B.$P(X=5)=\frac{1}{64}$
C.$E(X)=\frac{5}{2}$
D.$D(X)=\frac{5}{4}$

答案： 8. ACD 设$A=$“向右落下”，$\overline{A}=$“向左落下”，则$P(A)=P(\overline{A})=\frac{1}{2}$，因为小球最后落人格子的号码$X$等于事件$A$发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉$5$次，所以$X\sim B\left(5,\frac{1}{2}\right)$.对于$A,P(X=0)=\left(1-\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}$，故A正确；对于$B,P(X=5)=\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{32}$，故B错误；对于$C$，$E(X)=5×\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，故C正确；对于$D,D(X)=5×\frac{1}{2}×\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}$，故D正确.
教材链接 (选择性必修三7.4.1例2改编)

9. 某游戏棋盘上标有第0，1，2，$·s$，100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏.若掷出正面，棋子向前跳出1站；若掷出反面，棋子向前跳出2站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第$n$站的概率为$P_n$.现一选手抛掷均匀硬币3次，记棋子所走站数之和为$X$，则下列结论正确的是
(CD)

A.$X$的可能取值为1，2，3，4，5
B.$P(X\geq5)=\frac{1}{4}$
C.$E(X)=\frac{9}{2}$
D.$P_{n+1}-P_n=-\frac{1}{2}(P_n-P_{n-1})(1\leq n\leq98)$

答案： 9. CD 对于$A$，抛掷硬币$3$次，若$3$次正面，则棋子向前跳出$3$站，$2$次正面，则棋子向前跳出$4$站，一次正面，则棋子向前跳出$5$站，若三次后面，则棋子向前跳出$6$站.即随机变量$X$的可能取值有$3,4,5,6$，故$A$错误.对于$B$，由上述知$P(X\geq5)=P(X=5)+P(X=6)=\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\mathrm{C}_{3}^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$，故$B$错误.对于$C$，因为$P(X=3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$，$P(X=4)=\mathrm{C}_{2}^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8}$，$P(X=5)=\mathrm{C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$，$P(X=6)=\mathrm{C}_{3}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$，所以随机变量$X$的分布列为
$X$ $3$ $4$ $5$ $6$
$P$ $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$
所以$E(X)=3×\frac{1}{8}+4×\frac{3}{8}+5×\frac{3}{8}+6×\frac{1}{8}=\frac{9}{2}$，故C正确.对于$D$，依题意，当$1\leq n\leq98$时，棋子要到第$(n + 1)$站，有两种情况：由第$n$站跳$1$站到，其概率为$\frac{1}{2}P_{n}$；由第$(n-1)$站跳$2$站到，其概率为$\frac{1}{2}P_{n-1}$，所以$P_{n + 1}=\frac{1}{2}P_{n}+\frac{1}{2}P_{n-1}$，等式两边同时减去$P_{n}$得$P_{n + 1}-P_{n}=-\frac{1}{2}P_{n}+\frac{1}{2}P_{n-1}=-\frac{1}{2}(P_{n}-P_{n-1})(1\leq n\leq98)$，故D正确.

10. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是$\frac{1}{3}$，遇到红灯停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间$\xi$的方差为
$\frac{32}{9}$.

答案： 10. 设变量$\eta$为这名学生在上学路上遇到红灯的次数，则$\xi=2\eta$.由题意，$\eta\sim B\left(4,\frac{1}{3}\right)$，所以$D(\eta)=4×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$，所以$D(\xi)=4D(\eta)=\frac{32}{9}$.

11. 小轩利用操场练习跑步，一周2次，一次跑5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.3，跑6圈的概率为0.7；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小轩一周跑11圈的概率为
0.65；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为$X$，则$X$的期望$E(X)=$
3.4.

答案： 11. 0.65 3.4 设一周跑11圈为事件$A$，第一次跑5圈为事件$B$，第二次跑5圈为事件$C$，则$P(B)=P(\overline{B})=0.5$，$P(C|B)=0.3$，$P(\overline{C}|B)=0.7$，$P(C|\overline{B})=0.6$，$P(\overline{C}|B)=0.4$，故$P(A)=P(B\overline{C})+P(\overline{B}C)=P(B)· P(\overline{C}|B)+P(\overline{B})· P(C|B)=0.5×0.7+0.5×0.6=0.65$.一周跑10圈的概率为$0.5×0.3=0.15$，则一周至少跑11圈的概率为$1-0.15=0.85$，故$X\sim B(4,0.85)$，所以$E(X)=4×0.85=3.4$.

12. 某人在$n$次射击中击中目标的次数为$X$，且$X\sim B(n,0.7)$，记$P_k=P(X=k),k=0,1,2,·s,n$，若$P_7$是唯一的最人值，则$E(X)$的值为
7.

答案： 12. 7 因为$P_{r}=P(X=r)=\mathrm{C}_{n}^{k}p^{r}(1-p)^{n-r},r=0,1,2,·s$，$n$，若$P_{k}$是唯一最大值，则$\begin{cases}P_{k}＞P_{k + 1}\\P_{k}＞P_{k-1}\end{cases}$，所以$\begin{cases}\mathrm{C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}＞\mathrm{C}_{n}^{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}\\\mathrm{C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}＞\mathrm{C}_{n}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}\end{cases}$，由$\mathrm{C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}＞\mathrm{C}_{n}^{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}$，得$\frac{1-p}{n-k}＞\frac{p}{k+1}$，解得$n＜\frac{k-p + 1}{p}$.由$\mathrm{C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}＞\mathrm{C}_{n}^{k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k+1}$，得$\frac{p}{k}＞\frac{1-p}{n-k+1}$，解得$n＞\frac{k-p}{p}$.所以$\frac{k-p}{p}＜n＜\frac{k-p + 1}{p}$.因为$p=0.7,k=7$，所以$\frac{7-0.7}{0.7}＜\frac{7.3}{0.7}$，$9＜n＜\frac{73}{7}$.因为$n$为正整数，所以$n=10$，所以$E(X)=10×0.7=7$.