《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 某蓝莓基地种植蓝莓，将1个蓝莓果重量$Z$(克)分为4级:$Z＞20$的为A级，$18＜Z\leqslant 20$的为B级，$16＜Z\leqslant 18$的为C级，$14＜Z\leqslant 16$的为D级，$Z\leqslant 14$的为废果.将A级与B级果称为优等果.已知蓝莓果重量$Z$可近似服从正态分布$N(15,9)$.对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为$p$(精确到0.1).若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查，抽查次数最多不超过$n$，若抽查次数$X$的期望值不超过3，则$n$的最大值为　　.4
参考数据:若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则$P(\mu -\sigma \leqslant X\leqslant \mu +\sigma )\approx 0.6827$，$P(\mu -2\sigma \leqslant X\leqslant \mu +2\sigma )\approx 0.9545$，$P(\mu -3\sigma \leqslant X\leqslant \mu +3\sigma )\approx 0.9973$.

答案： 14. 4 因为$\mu=15,\sigma=3$，所以$p=P(Z＞18)=P(Z＞\mu+\sigma)=1-P(\mu-\sigma\leq Z\leq\mu+\sigma)÷2=1-0.6827÷2\approx0.2$.
设第$k$次抽到优等果的概率$P(X=k)=0.8^{k-1}·0.2(k=2,3,·s,n-1)$，抽取$n$次的概率$P(X=n)=0.8^{n-1}$，所以$E(X)=0.2\sum_{k=1}^{n-1}k·0.8^{k-1}+n·0.8^{n-1}$.
设$M=\sum_{k=1}^{n-1}k·0.8^{k-1}$①，则$0.8M=\sum_{k=1}^{n-1}k·0.8^{k}$②，
两式相减得$0.2M=\sum_{k=1}^{n-1}0.8^{k-1}-(n-1)·0.8^{n-1}=\frac{1-0.8^{n-1}}{1-0.8}-(n-1)·0.8^{n-1}$.
所以$E(X)=0.2M+n·0.8^{n-1}=5(1-0.8^{n})-(n-1)·0.8^{n-1}+n·0.8^{n-1}=5(1-0.8^{n})$.
由$5(1-0.8^{n})\leq3$，得$0.8^{n}\geq0.4$，又$0.8^{4}=0.4096＞0.4$，$0.8^{5}=0.32768＜0.4$，所以$n$的最大值为4.