《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 一袋中装有 10 个球，其中 3 个黑球、7 个白球，从中不放回地依次随机抽取两球，则第二次取到的是黑球的概率为
(C)

A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{3}{9}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$\frac{7}{10}$

答案： 1. C 记事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，则
$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$,
由题设易知$P(A)=\frac{3}{10}$,$P(\overline{A})=\frac{7}{10}$,$P(B|A)=\frac{2}{9}$,
$P(B|\overline{A})=\frac{3}{9}$,所以$P(B)=\frac{3}{10}×\frac{2}{9}+\frac{7}{10}×\frac{3}{9}=\frac{3}{10}$。

2. 近年来，从传统制造业到现代服务业，从能源领域到医疗健康，人工智能(AI)的应用场景不断拓展，为产业发展带来了前所未有的变革. 已知有甲、乙、丙三类 AI 模型，其各自的应答准确率分别为 0.9,0.8,0.7，现有一个问题需要 AI 模型辅助解决，选择甲、乙、丙的概率分别为 0.5,0.3,0.2. 则该问题被准确应答的概率为
(B)

A.0.84
B.0.83
C.0.82
D.0.81

答案： 2. B 根据全概率公式可知$P=0.5×0.9+0.3×0.8+$
$0.2×0.7=0.83$。
解题突破 利用全概率公式解题的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件
$A_i(i=1,2,·s,n)$。
(2)求$P(A_i)$和所求事件B在各个互斥事件$A_i$发生的条件下
发生的概率$P(B|A_i)$。
(3)代入全概率公式$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$计算.

3. 设某地区所有人口中，患肺癌的概率为 0.001, 若在所有人口中有 20％是吸烟者，他们患肺癌的概率为 0.004，则不吸烟者患肺癌的概率是
(A)

A.0.000 25
B.0.002 5
C.0.000 025
D.0.000 002 5

答案： 3. A 记事件C为“患肺癌”，记事件A为“所有人口中的吸
烟者”. $P(C)=0.001$,$P(A)=0.20$,$P(C|A)=0.004$,由全
概率公式有$P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|\overline{A})P(A)$,即
$0.001=0.004×0.20+P(C|\overline{A})×0.80$,解得$P(C|\overline{A})=$
0.00025,所以不吸烟者患肺癌的概率为0.00025.
方法总结 样本空间$\Omega$由$n$个两两互斥的事件$A_1,A_2,A_3,·s$,
$A_n$构成，且$P(A_i)＞0$,$i=1,2,·s,n$,则样本空间中的任一事件B
的概率都可表示成$P(B)=P(B\cap\Omega)=P(BA_1+BA_2+·s+$
$BA_n)=P(BA_1)+P(BA_2)+·s+P(BA_n)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$。

4. (教材变式) 在数字通讯中，信号是由数字 0 和 1 的长序列组成的，由于有随机干扰，发送的信号 0 或 1 分别有可能被错误地接收为 1 或 0. 现假定发送信号为 0 和 1 的概率均为 0.5，已知发送信号 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为 0.8 和 0.2；发送信号 1 时，接收为 1 和 0 的概率分别为 0.9 和 0.1. 若收到信号为 0，则发出的信号是 0(即没有错误接收)的概率是
(D)
A.$\frac{9}{11}$
B.$\frac{9}{10}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{8}{9}$

答案： 4. D 设$A=$“发出的信号为0”，$B=$“接收的信号为0”，则
$\overline{A}=$“发出的信号为1”，$\overline{B}=$“接收的信号为1”,则$P(A)=$
$P(\overline{A})=0.5$,$P(B|A)=0.8$,$P(B|\overline{A})=0.1$,由贝叶斯公
式得所求的概率为$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=$
$\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}=\frac{0.5×0.8}{0.5×0.8+0.5×0.1}=$
$\frac{8}{9}$.
方法总结 贝叶斯公式实际上是条件概率与全概率公式的一种
交汇，即$P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}$与$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)·$
$P(B|A_i)(i=1,2,·s,n)$的结合体.
教材链接 (选择性必修三7.1.2例6改编)

5. 长时间玩手机可能影响视力. 据调查，某校学生大约 40％的人近视，而该校大约有 20％的学生每天玩手机超过 1 h，这些人的近视率约为 50％. 现从每天玩手机不超过 1 h 的学生中任意调查一名学生，则该学生近视的概率为
(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 5. B 解法1 令$A_1=$“玩手机超过1h的学生”，$A_2=$“玩
手机不超过1h的学生”，$B=$“任意调查一人，此人近视”，则
$\Omega=A_1\cup A_2$，且$A_1,A_2$互斥，依题意，$P(A_1)=0.2$,$P(A_2)=$
$0.8$,$P(B|A_1)=0.5$,$P(B)=0.4$,由全概率公式$P(B)=$
$P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)$,得$0.4=0.2×0.5+$
$0.8× P(B|A_2)$,所以$P(B|A_2)=\frac{3}{8}$.
解法2 设该校有100名学生，整理得下表：
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依题意有$P(B|A_2)=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$.

6. 李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花需要交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为 0.8；如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为 0.3. 假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得浇水和忘记浇水的概率均为 0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为
(C)

A.$\frac{3}{11}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{8}{11}$
D.1

答案： 6. C 设事件$B=$“邻居记得浇水”，$\overline{B}=$“邻居忘记浇水”，
$A=$“花还活着”，则$P(B)=0.5$,$P(\overline{B})=0.5$,$P(A|B)=0.8$,
$P(A|\overline{B})=0.3$,则$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=$
$0.5×0.8+0.5×0.3=0.55$,则$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=$
$\frac{0.5×0.8}{0.55}=\frac{8}{11}$.