《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

7. 下列两个变量之间的关系是函数关系的是
(ACD)

A.角度和它的正切值
B.人的右手一拃长和身高
C.正方体的棱长和表面积
D.真空中做自由落体运动的物体的下落距离和下落时间

答案： 7. ACD　对于A，角度x和它的正切值y有确定的关系y = tanx；对于B，人的右手一拃长和身高不是确定的关系，故不是函数关系；对于C，正方体的棱长a和表面积S有确定关系S = 6a²；对于D，真空中做自由落体运动的物体的下落距离h和下落时间t满足h = $\frac{1}{2}$gt²(t≥0)。

8. 某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后,获得如图所示的散点图,关于样本相关系数的比较,其中正确的是
(CD)


A.$r_4＜r_2＜0$
B.$0＜r_1＜r_3$
C.$r_2＜r_4＜0$
D.$0＜r_3＜r_1$

答案： 8. CD　由题中散点图可知
(1)
(3)为正相关，
(2)
(4)为负相关，故r₁＞0，r₃＞0，r₂＜0，r₄＜0。又因为
(1)与
(2)中散点图更接近于一条直线，所以|r₁|＞|r₃|，|r₂|＜|r₄|。故r₂＜r₄＜0＜r₃＜r₁。

9. 在某地区随机抽取了 8 对母女的身高数据,如下表所示:

下列说法正确的是
(ABD)

A.8个成对数据呈正相关
B.变量$x$和变量$y$的样本相关系数$r_{xy}$约为 0.963
C.以$(\bar{x},\bar{y})$为原点,平移后的成对数据$(x_1-\bar{x},y_1-\bar{y}),(x_2-\bar{x},y_2-\bar{y}),·s,(x_8-\bar{x},y_8-\bar{y})$与原始成对数据相关性不相同
D.用样本相关系数$r_{xy}$可以估计总体两个变量的样本相关系数

答案： 9. ABD　由成对数据可得，$\overline{x}$=(154 + 157 +... + 163)÷8 = 159.25，$\overline{y}$=(155 + 156 +... + 166)÷8 = 161，$\sum_{i = 1}^{8}x_{i}^{2}-8\overline{x}^{2}$ = 59.5，$\sum_{i = 1}^{8}y_{i}^{2}-8\overline{y}^{2}$ = 116，$\sum_{i = 1}^{8}x_{i}y_{i}-8\overline{x}\overline{y}$ = 80，则r = $\frac{\sum_{i = 1}^{8}x_{i}y_{i}-8\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{8}x_{i}^{2}-8\overline{x}^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{8}y_{i}^{2}-8\overline{y}^{2}}}$ = $\frac{80}{\sqrt{59.5×116}}$≈0.963，故B正确；由r≈0.963＞0，知8个成对数据呈正相关，故A正确；平移后的成对数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始成对数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，故C错误；根据统计学思想，故D正确。

10. 已知在成对样本数据$(x_1,y_1),(x_2,y_2),·s,(x_n,y_n)(n\geq2)$中,$x_1,x_2,·s,x_n$不全相等,且所有样本点$(x_i,y_i)(i=1,2,·s,n)$都在直线$y=-2x+1$上,则这组成对样本数据的样本相关系数$r=$-1 .

答案： 10. -1　由题意，所有样本点(xᵢ,yᵢ)(i = 1,2,...,n)都在直线y = -2x + 1上，所以这组样本数据完全负相关，即样本相关系数为 -1。

11. (教材变式)某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍.有人经统计发现了一个有趣的现象:如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率高;天鹅少的地方婴儿出生率低.于是,他得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这个结论错误 (选填“正确”或“错误”).

答案： 11. 错误　从表面看，似有因果关系，函数关系是具有因果关系的，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系。天鹅栖息的多少，与环境条件有很大的关系，适合天鹅栖息的地区天鹅栖息的就多，而婴儿出生率与生理遗传有关，当然也受地区环境的影响，但是两者并不存在必然的相关关系，所以“天鹅能够带来孩子”这个结论是错误的。