《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10.24$(0!+0!+0!+0!)!=$ (用数字作答).

答案： 10. 24 $(0!+0!+0!+0!)!=4!=24$.

11. 在编号为 $1,2,3,4$ 的四块土地上分别试种编号为 $1,2,3,4$ 的四个品种的小麦,但 1 号地不能种 1 号小麦,2 号地不能种 2 号小麦,3 号地不能种 3号小麦,则共有 种不同的试种方案.

答案：
11. 11 画出树状图，如图所示，其中第1列代表1号地. 由树状图可知，共有11种不同的试种方案.

12. 北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽,目前建有“三纵一横”4条跑道,分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道,如图所示.若有2 架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞,则有 种不同的安排方法;若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取,则有 种不同的安排方法(用数字作答).

答案： 12. 12 10 若有2架飞往不同目的地的飞机要从图中不同的跑道同时起飞，则不同的安排方法有$A_{3}^{2}=12$(种)；若西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则不同的安排方法有$A_{3}^{2}-A_{2}^{2}=10$(种).

13. (高频导向$|$ 由 $0,1,2,3,4,5$ 这六个数字,组成没有重复数字的四位数.
(1) 求这些四位数中奇数的个数;
(2) 求这些四位数中能被 5 整除的个数;
(3) 求这些四位数中个位上的数字小于十位上的数字的个数;
(4) 将这些四位数中的偶数从小到大排列,求第 71 个数.

答案： 13. 解：
(1)若四位数是奇数，则个位上的数字只能是1,3或5，千位上的数字不能是0，共有$A_{3}^{1}A_{4}^{1}A_{3}^{1}=144$(个).
(2)若四位数能被5整除，则个位上的数字只能是0或5，千位上的数字不能是0.当个位上的数字是0时，有$A_{5}^{3}=60$(个)；当个位上的数字是5时，有$A_{4}^{1}A_{4}^{2}=48$(个).因此，所求四位数的个数为$60 + 48=108$.
(3)因为个位上的数字小于十位上的数字与十位上的数字小于个位上的数字各占一半，所以共有$\frac{1}{2}A_{5}^{1}A_{5}^{3}=150$(个).
(4)数字1在千位的偶数(0,2,4为个位)有$A_{3}^{1}A_{4}^{2}=36$(个)；数字2在千位的偶数(0,4为个位)有$A_{2}^{1}A_{4}^{2}=24$(个)；数字3在千位，0在百位的偶数(2,4为个位)有$A_{2}^{1}A_{3}^{1}=6$(个).此时第$36 + 24 + 6=66$(个)偶数是3054，随后5个偶数从小到大为3102，3104，3120，3124，3140，所以第71个数是3140.

14. (创新·新情境$|$ 勒让德三平方和定理(Legendre’s Three-Square Theorem)是数论中关于自然数表示为三个整数平方和的重要定理,其核心内容为:如果一个自然数 $n$ 符合$n \neq 4^{s}(8 t+7)$(其中 $s, t$ 均为非负整数)时,那么可以表示为三个整数平方之和,即 $n=x^{2}+y^{2}+z^{2}$(其中 $x, y, z$ 为整数).例如:$13=3^{2}+2^{2}+0^{2}, 6=2^{2}+1^{2}+1^{2}$,设 $29=a^{2}+b^{2}+c^{2}$,其中 $a, b, c$ 均为自然数,则满足条件的有序数组$(a, b, c)$ 的个数是 (用数字作答).

答案： 14. 12 显然$a,b,c$均为不超过5的自然数，下面进行讨论：
①最大数为5的情况，$29=5^{2}+2^{2}+0^{2}$，5,2,0三个数互不相同，此时共有$A_{3}^{3}=6$种情况；②最大数为4的情况，$29=4^{2}+3^{2}+2^{2}$，4,3,2三个数互不相同，此时共有$A_{3}^{3}=6$种情况.显然$a,b,c$不能都小于4，所以由分类加法计数原理，满足条件的有序数组$(a,b,c)$的个数是$6 + 6=12$.