《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. [2024 江苏镇江期中]某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙、丁四人值班 5 天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同的值班方法数为 (C)

A.60
B.180
C.240
D.300

答案： 1. C 解法1 由题意，这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为(1,1,1,2)，故不同值班的方法数为
$\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{1}C_{3}^{1}}{A_{3}^{3}}· A_{4}^{4}=240$.
解法2 从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三
人、三天进行全排列，故不同值班的方法数为$C_{5}^{2}C_{4}^{1}A_{3}^{3}=240$.

2. [2024 四川泸县四中月考]如图, 有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色 1、黄色 2、黄色 3、金色 1、金色 2，其中黄色 1、黄色 2、黄色 3 是三种不同的颜色，金色 1、金色 2 是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色 1、黄色 2、黄色 3 有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有
①　②　③　④　⑤　⑥
(D)

A.120 种
B.240 种
C.144 种
D.288 种

答案： 2. D 不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案种数为$(\frac{C_{2}^{1}A_{2}^{2}}{A_{2}^{2}})· A_{3}^{3}A_{2}^{2}=432$.在这种情况下，红色在左、右两端的涂色方案种数为$(\frac{C_{2}^{1}A_{2}^{2}}{A_{2}^{2}})· C_{1}^{1}A_{2}^{2}A_{2}^{2}=144$，从而所求的结果为432−144=288(种).
解题突破 “红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻”的对立事件是“红色在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻”.

3. [2025 山东青岛调研]中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名航天员开展实验，其中天和核心舱与问天实验舱各安排 2 人，梦天实验舱安排 1 人，且甲、乙不能被安排在同一个舱内，则不同的方案数为 (C)

A.15
B.18
C.24
D.32

答案： 3. C 第一步，从5人中任选2人安排在天和核心舱，有$C_{5}^{2}=10$(种)方法；第二步，从剩下的3人中任选2人安排在问天实验舱，有$C_{3}^{2}=3$(种)方法；第三步，将最后1人安排在梦天实验舱，有1种方法.所以天和核心舱与问天实验舱各安排2人，梦天实验舱安排1人的方法有$10×3×1=30$(种).若甲、乙在同一个舱内，则先安排甲、乙有2种方法，然后从剩余3人中安排1人在梦天实验舱，最后2人安排在最后一个舱，共有$2×3×1=6$(种)方法，所以满足题意的方法种数为30−6=24.

4. 将编号为 1,2,3,4,5,6,7 的小球放入编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个盒子中，每个盒子放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为 (A)

A.315
B.640
C.840
D.5 040

答案： 4. A 解法1 有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，即有四个盒子的编号与放入的小球的编号不同，有$C_{4}^{1}$种选法.对其中一种选法进行分析，如编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子放一球，盒子的编号与放入的小球的编号不同，符合题意的放法有9种，分别为{2143}，{2341}，{2413}，{3142}，{3412}，{3421}，{4123}，{4312}，{4321}，则不同的放法种数为$C_{4}^{1}×$9=315.
解法2 三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有$C_{4}^{3}$种放法，剩下的四个小球放入与小球编号不同的盒子有$C_{1}^{1}C_{3}^{1}$种放法，则不同的放法种数为$C_{4}^{3}C_{1}^{1}C_{3}^{1}=315$.
方法总结 错位排序，也称为错排，是指在一个排列中，所有元素都不在其原始位置上的排列.对于n个数的错位排序，公式为$f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]$，其中$f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9$.

5. [多选题][2023 山东菏泽期中]现有 6 个小球和 4 个盒子，下列结论正确的是 (BC)

A.若 6 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，每个盒子都不空，则共有 24 种放法
B.若 6 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 40 种
C.若 6 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有一个空盒的放法共有 2 160种
D.若 6 个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的盒子，且恰有两个空盒的放法共有 384 种

答案： 5. BC 对于A选项，只需在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入3块板即可，所以不同的放法种数为$C_{5}^{3}=10$，故A错误；对于B选项，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后在6个相同的小球中间形成的5个空位中插入2块板即可，所以不同的放法种数为$4C_{5}^{2}=40$，故B正确；对于C选项，先要指定空盒的编号，有4种情况，然后将这6个不同的小球分为三组，每组小球的个数分别为1,2,3或4,1,1或2,2,2，然后再将这三组小球放入剩余的三个盒子中，所以不同的放法种数为$4(C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{3}^{3}+\frac{C_{6}^{1}C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}+\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{3}^{3}})A_{3}^{3}=$2160，故C正确；对于D选项，先要指定空盒的编号，有$C_{4}^{3}=6$(种)情况，然后将这6个不同的小球分为两组，每组小球的个数分别为1,5或2,4或3,3，然后再将这两组小球放入剩余的两个盒子中，所以不同的放法种数为$C_{4}^{3}(\frac{C_{6}^{1}C_{5}^{5}}{A_{2}^{2}}+C_{6}^{2}C_{4}^{4}+\frac{C_{6}^{3}C_{3}^{3}}{A_{2}^{2}})A_{2}^{2}=372$，故D错误.

6. [多选题][2025 江苏南京六校联合体联合调研]五一假期即将来临，小张、小李、小王、小赵、小孙五名同学决定到南京的著名景点“夫子庙”“中山陵”“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则下列说法正确的有 (BCD)

A.所有可能的安排方法有 125 种
B.若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有 81 种
C.若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有 150 种
D.若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有 114 种

答案： 6. BCD 对于选项A，因为每个人均有3个景点可以选择，所以所有可能的安排方法有$3^{5}=243$(种)，故A错误.对于选项B，若小张同学必须去“夫子庙”，即小张的选择已经确定，不需要考虑，所以不同的安排方法有$3^{4}=81$(种)，故B正确.对于选项C，若5个人都去一个景点，则不同的安排方法有$C_{3}^{1}=3$(种)；若5个人都去其中2个景点(这2个景点必须都有同学去)，则不同的安排方法有$C_{3}^{2}(2^{5}-C_{2}^{1})=90$(种).所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有243−(3+90)=150(种)，故C正确.对于选项D，若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有两种情况.若这个景点仅有2人去，则不同的安排方法有$C_{3}^{1}· A_{3}^{3}=18$(种)；若这个景点有3人去，则不同的安排方法有$C_{3}^{1}· A_{3}^{3}=18$(种).所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有150−18−18=114(种)，故D正确.

7. [2024 山东菏泽期中]现有 3 种植物和如图所示的 4 块试验田，每块试验田种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物.若从 3 种植物中选若干种种植在 4 块试验田内，则不同的种植方法共有24种；若将 3 种植物种植在 4 块试验田内，则不同的种植方法共有18种.

答案： 7. 24 18 若从3种植物中选若干种种植，不同的种植方法共有$3×2×2×2=24$(种).若将3种植物种植，分2步进行分析：第一步，在3种植物中选出1种，安排在4块试验田中不相邻的两块，有$3C_{3}^{2}=9$(种)情况；第二步，剩下的2种植物安排在剩下的2块试验田，有$A_{2}^{2}=2$(种)情况.则有$9×$2=18(种)不同的种植方法.
易错警示 涂色或种植位置要区分所给的几种颜色或作物是否都要用上.

8. [2025 广东深圳期末]某市某公园一条笔直的林荫道上有 18 张长椅，现因规划要求，需移走其中 4 张长椅，要求两端的长椅不能移走，且移走的相邻两张长椅之间，至少要留下三张长椅，则不同的移走方案共有35种.

答案： 8. 35 先安排15张长椅，按如下顺序排好，移走的长椅将路分成5段.(a表示留下的长椅，b表示移走的长椅)a,b,a,a,a,b,a,a,a,b,a,a,a,b,a,再将剩下的3张长椅放进5段路中，则第一类情况，若3张长椅在一起，则有$C_{5}^{1}=5$(种)方法；第二类情况，若3张长椅分两组，则有$C_{5}^{2}A_{2}^{2}=20$(种)方法；第三类情况，若3张长椅均不在一起，则有$C_{5}^{3}=10$(种)方法.所以根据分类加法计数原理知共有5+20+10=35(种)方法.
核心笔记
1. 求解排列组合问题，有序属于排列问题，其常见题型有特殊位置问题(定位优先法)、相邻问题(捆绑法)、不相邻问题(插空法)、定序问题(缩倍法)等(练习运用：第6题)；无序属于组合问题，其中分组常见题型有：全部均分和部分均分，不同元素的分组分配问题采用先分组，再分配(排列)，但相同元素的分配是组合问题，采用隔板法(练习运用：第5题).
2. 在考查排列组合的应用问题时，常用直接法求解，若限制条件较多，则常选用间接法，可避免分类讨论(练习运用：第2题).有关排列组合的综合问题，往往需要两个计数原理及
第六章 计数原理
排列组合问题交叉应用才能解决问题.