《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 教材变式 某记者要去 4个直辖市采访,则不同采访顺序的种数为
(D)

A.4
B.12
C.18
D.24

答案： 1. D 不同的采访顺序有$A_{4}^{4}=24$(种).
教材链接(选择性必修三6.2.1练习第2题改编)

2. 若$A_{2n}^{3}=10A_{n}^{3}$,则$n=$
(A)

A.8
B.7
C.6
D.9

答案： 2. A 因为$A_{2n}^{3}=10A_{n}^{3}$，所以$n\geqslant3$，$n\in N^{*}$，所以有$2n·(2n - 1)·(2n - 2)=10n·(n - 1)·(n - 2)$，即$2(2n - 1)=5(n - 2)$，解得$n = 8$.

3. 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是
(D)

A.36
B.72
C.600
D.480

答案： 3. D 根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到不相邻的六位数的个数是$A_{4}^{4}× A_{5}^{2}=480$。
方法总结 求解排列问题的方法之一：插空法，对于不相邻问题，首先对不受限元素进行排列，再将要求不相邻的元素插入排列好的空当中（含两端）.

4. 有 4名司机、4名售票员要分配到 4辆汽车上,保证每辆汽车上有 1名司机和 1名售票员,则可能的分配方法有
(C)

A.$A_{8}^{8}$种
B.$A_{4}^{4}$种
C.$A_{4}^{4}A_{4}^{4}$种
D.$2A_{4}^{4}$种

答案： 4. C 司机、售票员各有$A_{4}^{4}$种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有$A_{4}^{4}× A_{4}^{4}$种不同的分配方法.

5. 一条铁路线原有$n$个车站,为了适应客运需要,新增加了 2个车站,客运车票增加了 58种,则现有的车站数为
(B)

A.17
B.16
C.15
D.14

答案： 5. B 由题意可得$A_{n + 2}^{2}-A_{n}^{2}=58$，即$(n + 2)(n + 1)-n(n - 1)=58$，解得$n = 14$，所以现有车站16个.

6. 某电影院第一排共有 9个座位,现有 3名观众前来就座,若他们任意两人都不能相邻,且要求每人的左、右各至多两个空位,则不同的坐法共有
(D)

A.36种
B.42种
C.96种
D.48种

答案： 6. D 解法1 分两类，设“×”表示人，“o”表示座位.第一类，×oo×oo×oo，oo×oo×oo×，共有$2A_{3}^{3}$种；第二类，oo×oo×o×o，o×oo×oo×o，o×o×oo×oo，oo×o×o×oo，共$6A_{3}^{3}$种.所以不同的坐法共有$8A_{3}^{3}=48$(种).
解法2 依题意，空位可分为：①2,2,2空位组合，则形成4个空当，而中间两个空当必须占，此时情况有$2A_{3}^{3}=12$(种)；②1,1,2,2的空位组合，则中间3个空当都必须占，情况有$A_{3}^{3}·\frac{A_{4}^{4}}{A_{2}^{2}A_{2}^{2}} = 36$(种).所以不同的坐法种数为$12 + 36=48$.

7. 教材变式 下列等式恒成立的是
(ACD)

A.$A_{n}^{3}=(n-2)A_{n}^{2}$
B.$\frac{1}{n}A_{n+1}^{n}=A_{n+1}^{n-1}$
C.$nA_{n-1}^{n-2}=A_{n}^{n}$
D.$\frac{n}{n-m}A_{n-1}^{m}=A_{n}^{m}$

答案： 7. ACD 对于A，右边$=(n - 2)(n - 1)n=A_{n}^{3}$，等式成立；对于B，$\frac{1}{n}A_{n + 1}^{n + 1}=\frac{1}{n}·(n + 1)· n·(n - 1)·s·2=(n + 1)· A_{n - 1}^{n - 1}$，而$A_{n + 1}^{n + 1}=(n + 1)· n·s·3=\frac{(n + 1)n!}{2}= \frac{(n + 1)}{2}A_{n - 1}^{n - 1}$，所以B错误；对于C，左边$=n×(n - 1)×·s×2×1 = A_{n}^{n}$，等式成立；对于D，左边$=\frac{n!}{(n - m)!}×\frac{(n - m)!}{(n - m - 1)!}=n×\frac{(n - 1)!}{(n - m - 1)!}=A_{n}^{m}$，等式成立.
教材链接(选择性必修三习题6.2第3题改编)

8. 创新·新定义 定义“圆排列”:从$n$个不同元素中选$m$个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列的方法数记为$H_{n}^{m}$.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以$H_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{m}$.现有 2个女生,4个男生,共 6名同学围坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则下列说法正确的是
(AB)

A.共有$H_{6}^{6}$种排法
B.若两名女生相邻,则有$2H_{5}^{5}$种排法
C.若两名女生不相邻,则有$4H_{4}^{4}$种排法
D.若男生甲位置固定,则有$5H_{5}^{5}$种排法

答案： 8. AB 对于A，2个女生，4个男生共6名同学围坐成一圈，共有$\frac{A_{6}^{6}}{6}=H_{6}$(种)排法，故A正确；对于B，若两名女生相邻，则有$\frac{A_{2}^{2}A_{5}^{5}}{5}=2H_{5}$(种)排法，故B正确；对于C，若两名女生不相邻，则有$\frac{A_{4}^{4}A_{2}^{2}}{12}=12H_{4}^{4}$(种)排法，故C错误；对于D，若男生甲位置固定，则有$\frac{A_{5}^{5}}{5}=H_{5}^{5}$(种)排法，故D错误.

9. 高频导向 某班举办小型文娱活动,同学们准备了《舞动人生》等三个舞蹈节目和《星辰大海》等四个歌唱节目,按照下列要求安排演出顺序,则以下结论正确的是
(ACD)

A.任意两个舞蹈节日不相邻的排法有1 440 种
B. 若三个舞蹈节目顺序一定,则排法有210种
C. 《舞动人生》不排第一,《星辰大海》不排最后的排法有3 720种
D. 《舞动人生》和《星辰大海》之间恰有 2个节目的排法有 960种

答案： 9. ACD 对于选项A，即不相邻问题（插空法），先安排歌唱节目，共有$A_{4}^{4}$种排法，舞蹈节目在五个空当中安插，有$A_{5}^{3}$种排法，故共有$A_{4}^{4}× A_{5}^{3}=1440$(种)排法，故A正确；对于选项B，先排歌唱节目有$A_{4}^{4}$种排法，三个舞蹈节目顺序一定，排进最后三个位置，只有1种情况，故共有$A_{4}^{4}×1 = 840$(种)排法，故B错误；对于选项C，排法有$A_{7}^{7}-2A_{6}^{6}+A_{5}^{5}=3720$（种），其中$A_{7}^{7}$是所有节目的全排列，$A_{6}^{6}$是《舞动人生》排第一或《星辰大海》排最后的排法，$A_{5}^{5}$是《舞动人生》排第一且《星辰大海》排最后的排法，故C正确；对于选项D，任取2个节目与《舞动人生》《星辰大海》组成一个整体，再与余下的3个节目全排列，故共有$A_{2}^{2}A_{3}^{3}A_{4}^{4}=960$(种)排法，故D正确.
方法总结 求解排列问题的几种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列.
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中（含两端）.
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
除法处理