《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 已知随机变量$X$服从两点分布，$E(X)=0.6$，则其成功的概率为
(D)

A. 0.3
B. 0.4
C. 0.5
D. 0.6

答案： 1.D 设成功的概率为$p$，则$E(X)=0 × (1-p)+1 × p=$
$p=0.6$.

2. 某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是$\frac{2}{3}$，击中目标后射击停止，射击次数$X$为随机变量，则期望$E(X)=$
(A)

A. $\frac{13}{9}$
B. 1
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{3}$

答案： 2.A 由题意知$X=1,2,3$，则$P(X=1)=\frac{2}{3}$，$P(X=2)=$
$\frac{1}{3} × \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，$P(X=3)=\frac{1}{3} × \frac{1}{3} × 1=\frac{1}{9}$.
$X$的分布列为
$\begin{array}{c|ccc}X & 1 & 2 & 3 \\ \hline P & \frac{2}{3} & \frac{2}{9} & \frac{1}{9} \end{array}$
$E(X)=1 × \frac{2}{3}+2 × \frac{2}{9}+3 × \frac{1}{9}=\frac{13}{9}$.

3. (教材变式)已知随机变量$\xi$的分布列为

设$\eta=2\xi-5$，则$E(\eta)=$
(C)

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{2}$

答案： 3.C 由分布列的性质，得$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+m=1$，解得$m=$
$\frac{1}{3}$，则$E(\xi)=1 × \frac{1}{6}+2 × \frac{1}{6}+3 × \frac{1}{3}+4 × \frac{1}{3}=\frac{17}{6}$.因为$\eta=$
$2\xi-5$，所以$E(\eta)=2E(\xi)-5=2 × \frac{17}{6}-5=\frac{2}{3}$.
教材链接（选择性必修三7.3.1练习第1题改编）

4. (教材变式)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球.设学生一次发球成功的概率为$p(p\neq0)$，发球次数为$X$.若$X$的数学期望$E(X)=1.75$，则$p=$
(B)

A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{7}{12}$
D. $\frac{3}{4}$

答案： 4.B 根据题意，发球次数为1的概率$P(X=1)=p$，发球
次数为2的概率$P(X=2)=(1-p)p$，发球次数为3的概率
$P(X=3)=(1-p)^2p+(1-p)^3=(1-p)^2$，则$E(X)=$
$P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-$
$p)^2=1.75$，解得$p=\frac{5}{2}$或$p=\frac{1}{2}$，由$p \in (0,1)$，可得$p=\frac{1}{2}$.
易错警示 $X=3$时停止发球，不一定发球成功，也就是说第三
次不管成功与否，三次后都要停止，即$P(X=3)=(1-p)^2$，而
不是$P(X=3)=(1-p)^2p$.
教材链接（选择性必修三7.3.1例3改编）

5. 某班举行了一次名为“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若某小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和$X$的数学期望为
(A)

A. 0.9
B. 0.8
C. 1.2
D. 1.1

答案： 5.A 依题意得，$X$的所有可能取值为$0,1,2$，$P(X=0)=$
$(1-0.4) × (1-0.5)=0.3$，$P(X=1)=0.4 × (1-0.5)+$
$(1-0.4) × 0.5=0.5$，$P(X=2)=0.4 × 0.5=0.2$.可得$X$
的分布列如表所示.
$\begin{array}{c|ccc}X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P & 0.3 & 0.5 & 0.2 \end{array}$
所以$E(X)=0 × 0.3+1 × 0.5+2 × 0.2=0.9$.

6. 某校组织“中国诗词”竞赛，在“风险答题”环节中，共为选手准备了甲、乙、丙三类不同的题目，选手每答对一个甲类、乙类或丙类题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，就要相应扣去300分、200分、100分，根据平时训练经验，选手小明答对甲类、乙类或丙类题目的概率分别为0.6,0.75,0.85，若要每一次答题的均分更大一些，则小明应选择的题目类型应为
(B)

A. 甲类
B. 乙类
C. 丙类
D. 甲类或乙类

答案： 6.B 小明选择甲类题目，得分的均值为$0.6 × 300+0.4 ×$
$(-300)=60$；选择乙类题目，得分的均值为$0.75 × 200+$
$0.25 × (-200)=100$；选择丙类题目，得分的均值为$0.85 ×$
$100+0.15 × (-100)=70$.依题意知，小明应选择乙类题目
才能使每一次答题的均分更大.

7. 设随机变量$X$的分布列为$P(X=\frac{k}{4})=ak(k=1,2,3,4)$，$a$为常数，则下列结论正确的是
(BD)

A. $a=\frac{1}{5}$
B. $P(X＞\frac{1}{2})=\frac{7}{10}$
C. $E(X)=\frac{1}{2}$
D. $E(X-1)=-\frac{1}{4}$

答案： 7.BD 由题意，得$a(1+2+3+4)=1$，所以$a=\frac{1}{10}$，故A错
误；$P(X＞\frac{1}{2})=P(X=\frac{3}{4})+P(X=1)=\frac{3}{10}+\frac{4}{10}=\frac{7}{10}$，故
B正确；$E(X)=\frac{1}{4} × \frac{1}{10}+\frac{2}{4} × \frac{2}{10}+\frac{3}{4} × \frac{3}{10}+\frac{4}{4} × \frac{4}{10}=\frac{3}{4}$，
故C错误；$E(X-1)=E(X)-1=-\frac{1}{4}$，故D正确.