《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 设随机变量 $\xi$ 的分布列为 $P\left(\xi=\frac{k}{5}\right)=a k(k=1,2,3,4,5)$,$a$ 为常数,则下列说法正确
的是 (ABC)
A.$15 a=1$
B.$P(0. 5＜\xi＜0. 8)=0. 2$
C.$P(0. 1＜\xi＜0. 5)=0. 2$
D.$P(\xi=1)=0. 3$

答案： 8. ABC 由题意，得$P(\xi=-\frac{1}{5})+P(\xi=\frac{2}{5})+P(\xi=\frac{3}{5})+P(\xi=\frac{4}{5})+P(\xi=1)=a + 2a + 3a + 4a + 5a = 15a = 1$，解得$a=\frac{1}{15}$，故 A 正确；$P(0.5＜\xi＜0.8)=P(\xi=\frac{3}{5})=3 × \frac{1}{15}=0.2$，故 B 正确；$P(0.1＜\xi＜0.5)=P(\xi=\frac{1}{5})+P(\xi=\frac{2}{5})=1 × \frac{1}{15}+2 × \frac{1}{15}=0.2$，故 C 正确；$P(\xi=1)=5 × \frac{1}{15}=\frac{1}{3} \neq 0.3$，故 D 错误.

9. 已知某企业组装车间的某小组有 6 名工人,每次独立、随机地从中抽取 3 名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有 $\xi$ 名不同的工人被抽中,则下列结论正确的是
(AB)

A.该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为$\frac{1}{4}$
B.$P(\xi=3)=\frac{1}{20}$
C.$P(\xi=4)＞P(\xi=5)$
D.$P(\xi=6)=\frac{3}{20}$

答案： 9. AB 对于 A，工人甲每次被抽到的概率$P=\frac{C_{3}^{2}}{C_{4}^{3}}=\frac{1}{2}$，所以恰好两次都被选中的概率为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，故 A 正确；对于 B,C,D,$\xi$的可能取值为$3,4,5,6$，则$P(\xi=3)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}} × \frac{1}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，$P(\xi=4)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}} × \frac{C_{3}^{1}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，$P(\xi=5)=\frac{C_{6}^{3} × C_{3}^{2}C_{3}^{2}}{C_{6}^{3}C_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，$P(\xi=6)=\frac{C_{6}^{3} × C_{3}^{3}}{C_{6}^{3}C_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，故 B 正确，C,D 错误.

10. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下：

若 $Y=2 X-3$,则 $P(Y=5)$ 的值为0.2.

答案： 10. 0.2 当$Y=5$时，由$2X - 3 = 5$，得$X=4$，所以$P(Y=5)=P(X=4)=0.2$.

11. (教材变式 一个袋中有质地、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球.
(1) 若从中任意摸出 1 个球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出红球,设 $X=$ $\begin{cases}0,摸出白球, \\ 1,摸出红球,\end{cases}$则 $X$ 的分布列为
$X$ 0 1
$P$ $\frac{3}{7}$ $\frac{4}{7}$
.
(2) 若从中任意摸出 2 个球,设 $\eta=$ $\begin{cases}0,2个球全是白球, \\ 1,2个球不全是白球,\end{cases}$则 $\eta$ 的分布列为
$\eta$ 0 1
$P$ $\frac{1}{7}$ $\frac{6}{7}$
.

答案： 11.
(1)
$X$ 0 1
$P$ $\frac{3}{7}$ $\frac{4}{7}$
(2)
$\eta$ 0 1
$P$ $\frac{1}{7}$ $\frac{6}{7}$
(1) 依题意，$X$服从两点分布，$P(X=0)=\frac{C_{3}^{1}}{C_{7}^{1}}=\frac{3}{7}$，$P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{1}}=\frac{4}{7}$. 所以$X$的分布列为
$X$ 0 1
$P$ $\frac{3}{7}$ $\frac{4}{7}$
(2) 由题意知，$P(\eta=0)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{1}{7}$，$P(\eta=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{1}^{1}+C_{3}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{6}{7}$，所以$\eta$的分布列为
$\eta$ 0 1
$P$ $\frac{1}{7}$ $\frac{6}{7}$
方法总结 1. 判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对应结果.
2. 由对立事件的概率，知$P(X=0)+P(X=1)=1$.
3. 在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它.
教材链接（选择性必修三7.2例1改编）

12. (教材变式 某城市最近出台了一项关于机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第 4 次为止.李明决定参加驾照考试,设他第一、二、三、四次参加考试通过的概率依次为 0.6,0.7,0.8,0.9,则在一年内李明最多参加了 3 次驾照考试的概率为0.976.

答案： 12. 0.976 设一年内李明参加驾照考试次数为$X$，$X$的可能取值为$1,2,3,4$，则$P(X=1)=0.6$，$P(X=2)=(1 - 0.6) × 0.7 = 0.28$，$P(X=3)=(1 - 0.6) × (1 - 0.7) × 0.8 = 0.096$. 在一年内李明最多参加了3次驾照考试的概率为$P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.6 + 0.28 + 0.096 = 0.976$.
教材链接（选择性必修三习题7.2第6题改编）