《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 易错易混 将同时投掷两枚骰子出现的结果用$(a,b)$表示，其中$a,b$分别为第一枚和第二枚骰子的点数.设事件$A$=“$(a,b)$，且$a+b=10$”，事件$B$=“$(a,b)$，且$a＞b$”，则下列结论正确的有
(ACD)

A.$P(B|A)=\frac{1}{3}$
B.$P(AB)=\frac{1}{12}$
C.$P(B)=\frac{5}{12}$
D.$P(A|B)=\frac{1}{15}$

答案： 8. ACD 投掷两枚骰子的样本空间点有36个，其中事件$A$的样本点有$(4,6)$，$(5,5)$，$(6,4)$，共3个，事件$B$的样本点共有15个，则$P(A)=\frac{3}{36}$，$P(B)=\frac{15}{36}$，易知$P(AB)=\frac{1}{36}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{3}$，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1}{15}$。
易错警示$P(B|A)$与$P(A|B)$易混淆为等同.实际前者是在$A$发生的条件下$B$发生的概率，后者是在$B$发生的条件下$A$发生的概率。

9. 下列命题正确的是
(ABC)

A.若$P(AB)=0.2,P(A)=0.4$，则$P(\overline{B}|A)=0.5$
B.若$P(AB)=0.12,P(B|A)=0.6$，则$P(A)=0.8$
C.若$P(A|B)=P(B|A)=\frac{1}{2},P(A)=\frac{1}{3}$，则$P(B)=\frac{1}{3}$
D.若$P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|\overline{A})=0.4$，则$P(A|\overline{B})=0.2$

答案： 9. ABC 对于$A$，由$P(AB)=0.2$，$P(A)=0.4$，得$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.5$，则$P(\overline{B}|A)=1 - P(B|A)=0.5$，故A正确；对于$B$，由$P(AB)=0.12$，$P(B|A)=0.6$，得$P(A)=\frac{P(AB)}{P(B|A)}=0.2$，则$P(\overline{A})=1 - P(A)=1 - 0.2 = 0.8$，故B正确；对于$C$，由$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，得$P(AB)=P(B|A)· P(A)=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，则$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$，故C正确；对于$D$，因为$P(AB)=P(A)P(B|\overline{A})=0.5×0.4 = 0.2$，又$B=\overline{A}B + AB$且$\overline{A}B$与$AB$互斥，所以$P(B)=P(\overline{A}B)+P(AB)=0.6 - 0.2 = 0.4$，所以$P(A|\overline{B})=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)-P(AB)}{1 - P(B)}=\frac{0.1}{0.4}=0.25$，故D错误。

10. 已知事件$A,B$相互独立，且$P(A)=0.8$，则$P(A|B)=$0.8.

答案： 10. 0.8 由$A$与$B$相互独立，知$P(AB)=P(A)· P(B)$，则$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)· P(B)}{P(B)}=P(A)=0.8$。
方法总结 判断两个事件是否独立的方法
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
(2)定义法：当$P(AB)=P(A)P(B)$时，事件$A$，$B$相互独立；
(3)条件概率法：当$P(A)＞0$时，可用$P(A|B)=P(A)$来判断。（练习运用：第14题）

11. 在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同.已知他第一次投中的概率为$\frac{1}{4}$，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为$\frac{7}{10}$.

答案： 11.$\frac{7}{10}$ 设“第二次投中”为事件$A$，“第三次投中”为事件$B$，则$P(A)=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+(1 - \frac{1}{4})×\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$，$P(AB)=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×1+(1 - \frac{1}{4})×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{7}{32}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{7}{32}}{\frac{5}{16}}=\frac{7}{10}$，即在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为$\frac{7}{10}$。

12. 据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为$\frac{6}{7}$.

答案： 12.$\frac{6}{7}$ 设事件$A$为“连续熬夜48小时诱发心脏病”，事件$B$为“连续熬夜72小时诱发心脏病”.由题意可知$P(A)=0.055$，$P(B)=0.19$，则$P(\overline{A})=0.945$，$P(\overline{B})=0.81$，由条件概率公式可得$P(\overline{B}|\overline{A})=\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(A)}=\frac{P(\overline{B})}{P(A)}=\frac{0.81}{0.945}=\frac{6}{7}$。

13. 某班有6名三好学生和4名优秀班干，现通过抽签方式依次不放回地选出2人作为该班的优秀代表.求：
(1) 在先选出1名优秀班干的前提下，再选出一名优秀班干的概率；
(2) 在先选出1名优秀班干的前提下，再选出一名三好学生的概率；
(3) 直到第二次抽签才选出三好学生的概率.

答案： 13. 解：记事件$A=$“先选出1名优秀班干”，事件$B=$“再选出一名优秀班干”，事件$C=$“再选出一名三好学生”，则$P(A)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{2}{5}$，$P(AB)=\frac{C_{4}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{1}C_{9}^{1}}=\frac{2}{15}$，$P(AC)=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{1}}{C_{10}^{1}C_{9}^{1}}=\frac{4}{15}$。
(1)$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{3}$。
(2)$P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{2}{3}$。
(3)依题意知，第一次选出的是优秀班干，所以其概率为$P(AC)=\frac{4}{15}$。

14. 已知袋子中有6个黑球，4个白球，若依次不放回地抽取3个球，则第三次才取到黑球的概率为$\frac{1}{10}$.

答案： 14.$\frac{1}{10}$ 设$A_{i}=$｛第$i$次取到黑球｝$(i = 1,2,3)$，$A=$｛第三次才取到黑球｝，则$A=\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$，于是$P(A)=P(\overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3})=P(\overline{A_{1}})· P(\overline{A_{2}}|\overline{A_{1}})· P(A_{3}|\overline{A_{1}}\overline{A_{2}})=\frac{4}{10}×\frac{3}{9}×\frac{6}{8}=\frac{1}{10}$。