《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 教材变式 设袋中有 20 个红球、30 个白球，若从袋中任取 5 个球，则其中恰有 2 个红球的概率为
(A)

A.$\frac{\mathrm{C}_{20}^{2} \mathrm{C}_{30}^{3}}{ \mathrm{C}_{50}^{5}}$
B.$\frac{\mathrm{C}_{20}^{3} \mathrm{C}_{30}^{2}}{ \mathrm{C}_{50}^{5}}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{2}{5}$

答案： 1. A 恰有2个红球的概率为$\frac{C_{20}^{2}C_{30}^{3}}{C_{50}^{5}}$
教材链接（选择性必修三7.4.2练习第2题改编）

2. 一个盒子中装有 4 个白色乒乓球和 5 个橘黄色乒乓球. 现从盒子中任取 3 个乒乓球，记取出的 3 个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为 X，则$E(X)$=
(B)

A.1
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2

答案： 2. B 解法1 显然X的可能取值为0,1,2,3,其中$P(X=0)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{1}{21},P(X=1)=\frac{C_{4}^{1}C_{5}^{2}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{14},P(X=2)=\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{2}}{C_{9}^{3}}=\frac{10}{21},$
$P(X=3)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{42}$,故$E(X)=0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}=\frac{5}{3}.$
解法2 X服从超几何分布,$P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}$,$k\in N,k\leq r,$
3.由超几何分布的期望公式可得$E(X)=3×\frac{5}{9}=\frac{5}{3}$.
方法总结 若X服从超几何分布,则$P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}},k=m,m+1,m+2,·s,r,$其中$n,M,N\in N^*,n,M\leq N,m=\max\{0,n+M-N\},r=\min\{n,M\}$,可记为$X\sim H(n,M,N)$,其均值$E(X)=\frac{nM}{N}$,方差$D(X)=n·\frac{M}{N}·(1-\frac{M}{N})·\frac{N-n}{N-1}$.

3. 有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X 表示取得次品的个数，则$P(X ＜ 2)$=
(C)

A.$\frac{7}{15}$
B.$\frac{8}{15}$
C.$\frac{14}{15}$
D.1

答案： 3. C 由题意,知X取0,1,2,X服从超几何分布,它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式,即$P(X=0)=\frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15},P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}·C_{7}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15},P(X=2)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{15},$
于是$P(X＜2)=P(X=0)+P(X=1)=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$.

4. 晚会安排了 10 个表演节目，其中有 3 个是曲艺节目，现从节目单中随机地选取 4 个，那么概率是$\frac{3}{10}$的事件为
(C)

A.恰有 1 个是曲艺节目
B.4 个全是非曲艺节目
C.恰有 2 个是曲艺节目
D.至多有 2 个是曲艺节目

答案： 4. C 对于A,概率为$p_1=\frac{C_{1}^{1}C_{3}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{2}$,故A错误;对于B,概率为$p_2=\frac{C_{4}^{1}C_{3}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{6}$,故B错误;对于C,概率为$p_3=\frac{C_{3}^{2}C_{3}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{10}$,故C正确;对于D,包括没有曲艺节目,有1个曲艺节目和2个曲艺节目三种情况,由A知,恰好有一个曲艺节目的概率为$\frac{1}{2}$,且大于$\frac{3}{10}$,故D错误.

5. 已知 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其中次品数为$\xi$，已知$P(\xi = 1) = \frac{16}{45}$，且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为
(B)

A.10%
B.20%
C.30%
D.40%

答案： 5. B 设10件产品中存在n件次品,从中抽取2件,其次品数为$\xi$,由$P(\xi=1)=\frac{16}{45}$,得$\frac{C_{n}^{1}·C_{10-n}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{16}{45}$,化简得$n^2-10n+16=0$,解得$n=2$或$n=8$.又该产品的次品率不超过40%,则$n\leq4$,所以$n=2$,因此这10件产品的次品率为$\frac{2}{10}$,即20%.

6. 某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共 10 张券，客户从中任意抽取 2 张，若至少抽中 1 张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖. 客户甲每天都参加 1 次抽奖活动，一个月(30 天)下来，发现自己共中奖 11 次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有
(B)

A.1 张
B.2 张
C.3 张
D.4 张

答案： 6. B 设中奖的概率为$p$,30天中奖的天数为X,则$X\sim B(30,p)$.若盒子中的有奖券有1张,则中奖的概率为$p_1=\frac{C_{1}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{5},E(X_1)=30×\frac{1}{5}=6$.若盒子中的有奖券有2张,则中奖的概率为$p_2=\frac{C_{8}^{1}·C_{2}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{17}{45},E(X_2)=30×\frac{17}{45}=\frac{34}{3}$;
若盒子中的有奖券有3张,则中奖的概率为$p_3=\frac{C_{1}^{1}·C_{3}^{1}+C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{8}{15},E(X_3)=30×\frac{8}{15}=16$;若盒子中的有奖券有4张,则中奖的概率为$p_4=\frac{C_{6}^{1}·C_{4}^{1}+C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{2}{3},E(X_4)=30×\frac{2}{3}=20$.根据题意,盒子中的有奖券有2张时,更有可能一个月中奖11天.

7. 一袋中有 6 个大小相同的黑球，编号为 1,2,3,4,5,6，还有 4 个同样大小的白球，编号为 7,8,9,10，现从中任取 4 个球，则下列结论正确的是
(BD)

A.取出的最大号码 X 服从超几何分布
B.取出的黑球个数 Y 服从超几何分布
C.取出 2 个白球的概率为$\frac{1}{14}$
D.若取出 1 个黑球记 2 分，取出 1 个白球记 1 分，则总得分最大的概率为$\frac{1}{14}$

答案： 7. BD 对于A,超几何分布取出某个对象的结果数不定,也就是说超几何分布的随机变量为试验次数,即指某事件发生n次的试验次数,由此可知取出的黑球个数Y服从超几何分布,故B正确;对于C,取出2个白球的概率$p_1=\frac{C_{5}^{2}C_{7}^{2}}{C_{10}^{7}}=\frac{3}{7}$,故C错误;对于D,总得分最大的概率$p_2=\frac{C_{6}^{1}}{C_{10}^{14}}=\frac{1}{14}$,故D正确.
方法总结
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:
(1)考查对象分两类;
(2)已知各类对象的个数;
(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体数X的分布列.(练习运用:第1题)
2.求超几何分布列需要解决两个问题:一是确定随机变量$\xi$的可能取值;二是计算$\xi$取每个值对应的概率.(练习运用:第14题)
3.易错提醒:在抽样问题中“不放回”与“放回”是区分超几何分布与二项分布的标志.(练习运用:第9题)