《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. 已知一系列样本点$(x_i,y_i)(i = 1,2,3,·s,9)$满足$\bar{y} = 5$，$\sum_{i = 1}^{9}y_i^2 = 265$，由最小二乘法得到$Y$与$x(1,2,3,·s,9)$的经验回归方程，现用决定系数$R^2$来判断拟合效果，若$\sum_{i = 1}^{9}(y_i - \hat{y}_i)^2 = 1.60$，则$R^2 =$0.96.(参考公式：决定系数$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i = 1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}$)

答案： 10. 0.96 由题意得$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{9}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i = 1}^{9}(y_i - \bar{y})^2}=1 - \frac{\sum_{i = 1}^{9}(y_i - \hat{y}_i)^2}{y^2 - 9\bar{y}^2}=1 - \frac{1.60}{265 - 9×5^2}=0.96$.

11. 易错易混 已知$x$，$Y$之间的一组数据：


若$Y$与$x$满足经验回归方程$\hat{y} = b\sqrt{x} + 6$，则$b$的值为-0.8.

答案： 11. -0.8 依题意，$\sqrt{x}$的平均数为$\frac{1 + 2 + 3 + 4}{4}=2.5$，$y$的平均数为$\frac{5.5 + 4 + 3.5 + 3}{4}=4$，所以此曲线必过点$(2.5,4)$，代入方程得$4 = 2.5b + 6$，解得$b = -0.8$.
易错警示 经验回归直线必过点$(\bar{x},\bar{y})$，对于非线性经验回归方程需要用换元法转化为一元线性回归模型，再求样本点的中心，比如本题需要求$\sqrt{x}$的平均值，而不是$\sqrt{\bar{x}}$.

12. 某学习小组用计算机软件对一组数据$(x_i,y_i)(i = 1,2,3,·s,8)$进行回归分析，甲同学首先求出经验回归方程为$\hat{y} = 2x + 5$，样本点的中心为$(2,m)$. 乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据$(3,7)$误输成$(7,3)$，数据$(4,6)$误输成$(4,-6)$，将这两个数据修正后得到经验回归方程为$\hat{y} = \frac{13}{3}x + k$，则实数$k =$$\frac{9}{2}$.

答案： 12. $\frac{9}{2}$ 由题可知，$m = 2×2 + 5 = 9$.假设甲输入的$(x_1,y_1)$为$(7,3)$，$(x_2,y_2)$为$(4,-6)$，所以$7 + 4 + x_3 + ·s + x_8 = 2×8 = 16$，$3 - 6 + y_3 + ·s + y_8 = 9×8 = 72$.所以$x_3 + ·s + x_8 = 5$，$y_3 + ·s + y_8 = 72 + 3 = 75$.改为正确数据后，可得$3 + 4 + x_3 + ·s + x_8 = 12$，$7 + 6 + y_3 + ·s + y_8 = 13 + 75 = 88$，所以样本点的中心为$(\frac{3}{2},11)$，将其代入经验回归方程$\hat{y}=\frac{13}{3}x + k$，得$k=\frac{9}{2}$.

13. 某高中生参加社会实践活动，对某公司 1 月份至 5 月份销售的某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价$x$和销售量$Y$之间的一组数据如下表所示：

(1) 求$Y$关于$x$的经验回归方程.
(2) 预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系. 如果该种配件的成本是 2.5 元/件，那么该种配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润 = 销售收入 - 成本）
参考公式：经验回归方程$\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\hat{b} =$
$\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$，$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$.
参考数据：$\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = -8$，$\bar{x} = 10$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{5}{2}$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_i - \bar{y})^2 =$
$26$，$\sqrt{65} \approx 8.06$.

答案： 13. 解：
(1)因为$\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})=-8$，$\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2=\frac{5}{2}$，所以$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5}(x_i - \bar{x})^2}=\frac{-8}{\frac{5}{2}}=-3.2$.又$\bar{x}=10$，$\bar{y}=\frac{1}{5}(11 + 10 + 8 + 6 + 5)=8$，所以$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=8 - (-3.2)×10 = 40$，所以$Y$关于$x$的经验回归方程为$\hat{y}=-3.2x + 40$.
(2)设销售利润为$W$，则$W=(x - 2.5)(-3.2x + 40)=-3.2x^2 + 48x - 100=-3.2(x - \frac{15}{2})^2 + 80(2.5＜x＜12.5)$，所以当$x = 7.5$时，$W_{max}=80$，故该配件的销售单价应定为7.5元才能获得最大利润.