《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. $\mathrm{A}_{12}^{m}=9 × 10 × 11 × 12$,则 $m=$
(B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 1. B 由排列数公式可知$m=4$.

2. (教材变式$|$ 一个火车站有 6 股岔道,若每股岔道只能停放 1 列火车,现要停放 4 列不同的火车,则不同的停放方法有
(B)

A.24 种
B.360 种
C.$6^{4}$ 种
D.$4^{6}$ 种

答案： 2. B 相当于从6个不同元素中选4个，并进行排列，共有$A_{6}^{4}=6×5×4×3=360$(种).
教材链接 (选择性必修三6.2.2练习1第3题改编)

3. $\frac{4 \mathrm{A}_{8}^{4}+2 \mathrm{A}_{8}^{5}}{\mathrm{A}_{8}^{8}-\mathrm{A}_{9}^{5}}=$
(C)

A.1
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{6}{5}$

答案： 3. C $\frac{4A_{8}^{4}+2A_{8}^{5}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}=\frac{4A_{8}^{4}+8A_{8}^{4}}{A_{8}^{4}(A_{4}^{4}-9)}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.
方法总结 计算排列数时可运用排列数之间的关系，如$2A_{8}^{5}=2×8×7×6×5×4=8×8×7×6×5=8A_{8}^{4}$,$A_{5}^{5}=9×8×7×6×5=9A_{5}^{4}$.

4. 从 5 个不同的元素 $a, b, c, d, e$ 中任意取出 3 个,并按照一定的顺序排成一列,则以 $b$ 为首的不同的排列方法种数为
(B)

A.9
B.12
C.60
D.125

答案：
4. B 画出树状图如图所示.
　　　　　　　
可知共12种不同的排列方法，它们分别是$bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed$.

5. 某校准备组队参加辩论赛,从 7 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩,若其中学生甲必须参加且不担任四辩,则不同的安排方法种数为
(D)

A.180
B.120
C.90
D.360

答案： 5. D 分步完成：甲不担任四辩，共有3种方法；再从剩下6名同学中任选3人，且任意排序，共有$A_{6}^{3}=6×5×4=120$(种).所以一共有$3×120=360$(种).

6. 现有 4 名男生,5 名女生排成一排,其中甲不在正中间也不在两端的排法种数为
(D)

A.336
B.7 200
C.40 320
D.241 920

答案： 6. D 解法1(元素分析法) 先排甲，有6种排法，再排剩余8人，有$A_{8}^{8}$种排法，故共有$6·A_{8}^{8}=241920$(种)排法.
解法2(位置分析法) 先排正中间和两端，有$A_{3}^{3}$种排法，再排包括甲在内的剩余6人，有$A_{6}^{6}$种排法，故共有$A_{3}^{3}·A_{6}^{6}=336×720=241920$(种)排法.
解法3(等机会法) 9个人全排列，有$A_{9}^{9}$种排法，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在正中间及两端的排法种数是$A_{9}^{9}×\frac{6}{9}=241920$.
解法4(间接法) 9个人全排列，有$A_{9}^{9}$种排法，甲排在正中间，剩余8人全排列有$A_{8}^{8}$种排法，同理甲在最左端或最右端，剩余8人全排列，也都有$A_{8}^{8}$种排法，故甲不在正中间及两端的排法种数是$A_{9}^{9}-3·A_{8}^{8}=6A_{8}^{8}=241920$.

7. 下列问题是排列问题的是
( )

A.从 4 名学生中选 2 名参加数学竞赛,共有多少种不同的选取方法
B.从 4 名学生中选 2 人分别担任正、副班长,有多少种不同的安排方案
C.从 $1,2,3,4$ 四个数字中任取 2 个不同的数字,组成的两位数有多少个
D.从 $1,2,3,4$ 四个数字中任取 2 个不同的数相乘,其结果共有多少种

答案： 7. DC 选2名学生，不涉及顺序，不是排列问题，A错误；因为职位不同，与顺序有关，所以是排列问题，B正确；两位数，与顺序有关，是排列问题，C正确；根据乘法交换律可知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误.

8. (教材变式$|$ 某公司奖励甲、乙、丙三个团队去 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三个景点游玩,三个团队各去一个不同的景点,征求三个团队意见得到:甲团队不去 B;乙团队不去 C;丙团队只去 A 或
B.公司按征求意见安排,则下列说法不一定正确的是
(ACD)

A.丙团队一定去 A 景点
B.甲团队一定去 C 景点
C.乙团队一定去 B 景点
D.乙团队一定去 A 景点

答案： 8. ACD 安排甲、乙、丙三个团队去A，B，C三个景点游玩，三个团队各去一个不同的景点，总共有6种安排，分别是(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，则符合条件的只有(乙，丙，甲)，(丙，乙，甲)这两种安排，故可判断甲团队一定去C景点，故B正确.
教材链接 (选择性必修三习题6.2第9题改编)

9. 某学校高三年级有 2 个文科班,3 个理科班,现每个班指定了 1 人对各班的卫生进行检查,且每个班只安排 1 人检查,则下列说法正确的是
(AD)

A.若允许每个班指定的人检查自己的班,则不同的排法有 120 种
B.若文科生检查文科班,理科生检查理科班,且每人不检查自己的班,则不同的排法有 4 种
C.从 3 个理科生中选 2 个人检查文科班,则不同的的排法有 24 种
D.文科生不检查文科班,理科生不检查自己班的不同的排法有 24 种

答案： 9. AD 对于A，不同的排法数为$A_{5}^{5}=120$，故A正确；对于B，因为每人不检查自己班，所以文科生检查文科班的排法只有1种，理科生检查理科班的不同排法数为$A_{2}^{2}=2$，则不同的排法共有$2×1=2$(种)，故B错误；对于C，从3个理科生选出2个检查文科班的不同的排法有$A_{3}^{2}=6$(种)，故C错误；对于D，从3个理科生选出2个人检查文科班的不同的排法有$A_{3}^{2}=6$(种)，剩余1个理科生不检查自己班的排法有$A_{2}^{2}=2$(种)，2个文科生检查剩下2个理科班的排法有$A_{2}^{2}=2$(种)，则不同的排法共有$6×2×2=24$(种)，故D正确.