《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 某商场共有7个大门，东、南、西侧各有2个，北侧1个，若1人到该商场购物，则他进、出门的走法有
(D)

A.8种
B.7种
C.24种
D.49种

答案： 1.D　由题意，他进、出门的走法有7×7=49(种).

2. 准备用3个字符给一些书编号，其中首字符用A，B，后两个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有
(D)

A.8本
B.9本
C.12本
D.18本

答案： 2.D需分三步完成:第一步，首字符有2种编法;第二步，第二个字符有3种编法;第三步，第三个字符有3种编法，故由分步乘法计数原理知不同编号的书共有2×3×3=18 (本).

3. 从集合{0,1,2,3,4}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a + bi(i是虚数单位)，其中虚数有
(C)

A.10个
B.12个
C.16个
D.20个

答案： 3.C依题意，虚部b只能从1,2,3,4中选一个，有4种选法，实部a可从剩余的4个数中选一个，有4种选法，所以满足题意的虚数有4×4=16(个).

4. (教材变式)乘积$(a_1 + a_2)(b_1 + b_2)(c_1 + c_2 + c_3)(d_1 + d_2 + d_3)$展开后的项数是
(D)

A.5
B.10
C.13
D.36

答案： 4.D根据分步乘法计数原理，展开后的项数为2×2×3×3=36.
教材链接(选择性必修三6.1练习3第1题改编)

5. 若从正方体的6个面中选取3个面，则其中有2个面不相邻的选法共有
(B)

A.8种
B.12种
C.16种
D.20种

答案： 5.B　首先选取一组平行的对面，以满足2个面不相邻，有3组这样的对面，则在剩余的4个面中任取1个都满足要求，故选法共有4×3=12(种).

6. 某超市为顾客提供了四种结账方式：现金、某宝、某信、银联卡.已知顾客甲只用银联卡结账，顾客乙只用某信和银联卡结账，顾客丁与甲、乙结账方式不同，顾客丙用哪种结账方式都可以.若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们结账方式的种数为
(A)

A.20
B.24
C.30
D.36

答案： 6.A　当乙用银联卡结算时，此时甲和乙都用银联卡结算，丁有3种方法，丙有4种方法，共有3×4=12(种)方法;当乙用某信结算时，此时甲用银联卡结算，丁有2种方法，丙有4种方法，共有2×4=8(种)方法.综上,共有12+8=20 (种)方法.

7. (易错易混)现有6名同学报名参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是
(ACD)

A.若6名同学报名参加同一项目，则共有3种不同的报名方案
B.若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C.若每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D.若每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案

答案： 7.ACD　A显然正确;每人报名参加一项，每人均有3种选择，则共有$3^6=729($种)不同的报名方案，故B错误;根据3 个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，共有$6^3=216($种)不同的报名方案，故C正确;根据3个智力竞赛项目，分为3步，第1步有6种选择，第2步有5种选择，第3 步有4种选择，共有6×5×4=120(种)不同的报名方案，故D正确
易错警示 要注意分清完成这件事是“每人都报名”还是“每个项目都有人报”.若每人都报名，则几个人分几步；若每个项目都有人报，则几个项目分几步.

8. (教材变式)现有不同的红球4个、黄球5个、绿球6个，则下列说法正确的是
(BD)

A.若要选出2个球，正好一红一黄，则有9种不同的选法
B.若要从每种颜色中选出1个球，则有120种不同的选法
C.若要选出颜色不同的2个球，则有31种不同的选法
D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学，则有210种不同的方法

答案： 8.BD对于A,取2个球,红、黄各1个,有4×5=20(种)选法，故A错误;对于B,每种颜色选出1个球，共取3个，有4×5×6=120(种)选法，故B正确;对于C,要选出不同颜色的2个球，有3种情况,若取1红1黄，有4×5=20(种)选法;若取1红1绿，有4×6=24(种)选法;若取1黄1绿，有5×6=30(种)选法,因此共有20+24+30=74(种)选法,故C错误;对于D,甲、乙任意选球，各有15种选法，其中选中同一个球的有15种，所以共有15×15−15=210(种)选法，故D正确.
教材链接(选择性必修三习题6.1第3题改编)

9. 已知$a \in \left\{ \frac{1}{2},2,3 \right\}$，$b \in \left\{ \frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,8,9 \right\}$，记$y = \log_a b$，则下列结论错误的是
(ABC)

A.满足$y ＞ 0$的数对$(a,b)$有12对
B.若$a ＞ 1$，则$y = \log_a b$可取8个不同的整数值
C.若$a = 2$，则整数点$(ab,y)$在第一象限内有3个
D.满足不等式$\log_a b ＞ 1$的数对$(a,b)$有6对

答案： 9.ABC　对于A,要使y＞0,当a=$\frac{1}{2}$时，b取$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{3}$或$\frac{1}{2}$，有3对;当a=2时,b取2或8或9,有3对;当a=3时，b取2或8或9,有3对，共9对，故A错误.对于B,当a=2时,b 分别取$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{2}$,1,2,8,则y分别为−2,−1,0,1,3,有5个;当a=3时,b分别取$\frac{1}{3}$,1,9,则y分别为−1,0,2.所以y可取的不同的整数值共有6个，故B错误.对于C,a=2,要使(ab,y)为整数点,b取$\frac{1}{2}$或1或2或8,y分别为−1,0,1,3，得整数点(1,−1),(2,0),(4,1),(16,3),在第一象限内有2 个，故C错误.对于D,由log_a b＞1得，若0＜a＜1,则b＜a;若a＞1,则b＞a.当a=$\frac{1}{2}$时，b取$\frac{1}{4}$或$\frac{1}{3}$;当a=2时,b取8 或9;当a=3时,b取8或9,所以满足不等式log_a b＞1的数对(a,b)有6对，故D正确.