《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

7. [2024 湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校期中]某种工业机器生产商对一次性购买 2 台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案.
方案一：缴纳延保金 700 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 200 元；
方案二：缴纳延保金 1000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 100 元.
某工厂准备一次性购买 2 台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率.记 $X$ 表示这 2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1) 求 $X$ 的分布列；
(2) 以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？

答案： 7．解：
(1) 依题意得$1$台机器维修$0$次发生的概率为$p_{0} =$
$\frac{5}{50} = \frac{1}{10}$；$1$台机器维修$1$次发生的概率为$p_{1} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5}$；$1$台
机器维修$2$次发生的概率为$p_{2} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$；$1$台机器维修$3$
次发生的概率为$p_{3} = \frac{15}{50} = \frac{3}{10}$。$X$的所有可能取值为$0,1,2,3$，
$4,5,6$，$P(X = 0) = \frac{1}{10} × \frac{1}{10} = \frac{1}{100}$，$P(X = 1) = \frac{1}{10} × \frac{2}{5} × 2 =$
$\frac{2}{25}$，$P(X = 2) = \frac{2}{5} × \frac{2}{5} + \frac{1}{10} × \frac{2}{5} × 2 = \frac{1}{5}$，$P(X = 3) = \frac{1}{10} ×$
$\frac{3}{10} × 2 + \frac{1}{10} × \frac{2}{5} × 2 = \frac{11}{50}$，$P(X = 4) = \frac{1}{5} × \frac{1}{5} + \frac{3}{10} × \frac{2}{5} ×$
$2 = \frac{7}{25}$，$P(X = 5) = \frac{3}{10} × \frac{3}{10} × 2 = \frac{3}{25}$，$P(X = 6) = \frac{3}{10} × \frac{3}{10} =$
$\frac{9}{100}$，则$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3 4 5 6
$P$ $\frac{1}{100}$ $\frac{2}{25}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{11}{50}$ $\frac{7}{25}$ $\frac{3}{25}$ $\frac{9}{100}$
(2) 选择延保方案一，所需费用$Y_{1}$元的分布列为
$Y_{1}$ 700 900 1100 1300 1500
$P$ $\frac{29}{100}$ $\frac{11}{50}$ $\frac{7}{25}$ $\frac{3}{25}$ $\frac{9}{100}$
$E(Y_{1}) = \frac{29}{100} × 700 + \frac{11}{50} × 900 + \frac{7}{25} × 1100 + \frac{3}{25} × 1300 +$
$\frac{9}{100} × 1500 = 1000(元)$。
选择延保方案二，所需费用$Y_{2}$元的分布列为
$Y_{2}$ 1000 1100 1200
$P$ $\frac{79}{100}$ $\frac{3}{25}$ $\frac{9}{100}$
$E(Y_{2}) = \frac{79}{100} × 1000 + \frac{3}{25} × 1100 + \frac{9}{100} × 1200 =$
$1030(元)$。因为$E(Y_{1}) ＜ E(Y_{2})$，所以该工厂选择延保方案
第七章 随机变量及其分布
一较合算.
方法总结 随机变量的均值和方差从整体上刻画了随机变量，
是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均
值，若均值相同，再用方差来决定.