《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

13. 变式探究 已知椭圆$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$，其中$m,n\in\{1,2,3,4,5\}$.
（1）求满足条件的椭圆的个数；
（2）如果椭圆的焦点在$x$轴上，求满足条件的椭圆的个数.

答案： 13．解：
(1)由椭圆的标准方程知$m\neq n$，要确定一个椭圆，只要把$m,n$一一确定下来这个椭圆就确定了.故要确定一个椭圆共分两步：第一步，确定$m$，有5种方法；第二步，确定$n$，有4种方法.所以共有5×4=20（个）椭圆.
(2)要使椭圆的焦点在x轴上，必须满足$m＞n$，故可以按$m$的值分类，当$m=2,3,4,5$时，$n$的取值如下表：
$m$2345
$n$11,21,2,31,2,3,4
故共有1+2+3+4=10（个）椭圆.

14. 在数学领域，九宫格是一种数字游戏，起源于河图洛书，要求在九个小格子中填入不同的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等.现将1,2,⋯,9这九个自然数填入九个格中，如图1的九宫格，“？”处应填的数字是6；如图2，不同的九宫格共有8种.

答案： 14．6 8 设九宫格的三行（从上到下）的数字从左到右分别为$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$，易知$x_1+x_2+·s+x_9=45$，所以每行每列及对角线上的数字之和均为15，所以有
$\begin{cases}x_4+x_5+x_6=15,\\x_2+x_5+x_8=15,\\x_1+x_5+x_9=15,\\x_3+x_5+x_7=15,\end{cases}$得$x_5=5$，由$x_2=9,x_4=3$，得$x_8=1,x_6=7$，则$\begin{cases}x_1+x_3=6,\\x_1+x_7=12,\end{cases}$解得$x_1=4,x_3=2,x_7=8$，故$x_9=6$，所以“?”处应填的数字是6.数字5在九宫格的正中，数字9不能在九宫格的四个角上，否则：如$x_1=9$，由$x_3+x_7=10$，知$x_1+x_3$或$x_1+x_7$中有一个大于15，矛盾，因此数字9只能在与5同行或同列的4个位置之一，此时1位置确定，而2+9+4=15，所以9只能与2,4同行（或同列，视9的位置决定），角上的数字2,4可互换位置，其他数字只有一种填法，所以不同九宫格共有4×2=8（种）.