《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量$X$(单位:小时)，$X$服从正态分布
$N(5,{\sigma }^{2})$，若记$P(X＜4.5)=p$，则下列说法正确的是
(ACD)

A.$P(X＞5)=\frac{1}{2}$
B.$P(4.5＜X＜5)=\frac{1-p}{2}$
C.$\sigma$越小，每周运动总时间在$(4.5,5.5)$内的概率越大
D.若$p=\frac{3}{10}$，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在$(4.5,5.5)$内的概率为$\frac{36}{125}$

答案： 8. ACD 对于A，因为$X\sim N(5,\sigma^{2})$，所以$P(X＞5)=\frac{1}{2}$，故A正确；对于B，因为$P(X＜4.5)=p$，所以$P(4.5＜X＜5)=P(X＜5)-P(X＜4.5)=\frac{1-2p}{2}$，故B错误；对于C，$\sigma$越小，每周运动总时间在$(4.5,5.5)$内的概率越大，故C正确；对于D，若$p=\frac{3}{10}$，则$P(4.5＜X＜5.5)=1-2p=1-2×\frac{3}{10}=\frac{2}{5}$，所以从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在$(4.5,5.5)$内的概率为$\mathrm{C}_{3}^{2}·(\frac{2}{5})^{2}×\frac{3}{5}=\frac{36}{125}$，故D正确.

9. 李老师教高二甲班和乙班的数学，这两个班的人数相等.在某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}}$的图象如图所示，其中$\mu$是正态分布的期望，$\sigma$是正态分布的标准差，且$P(|X-\mu |\leqslant \sigma )=0.6827$，$P(|X-\mu |\leqslant 2\sigma )=0.9545$，$P(|X-\mu |\leqslant 3\sigma )=0.9973$.关于这次数学考试成绩，下列结论不正确的是
(ABC)


A.甲班的平均分比乙班的平均分高
B.相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散
C.甲班108分以上的人数约占该班总人数的$4.55\%$
D.乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等

答案： 9. ABC 对于A，由图知$\mu_{甲}=98,\mu_{Z}=100$，即甲班的平均分比乙班的平均分低，故A错误；对于B，甲班的曲线比乙班的曲线更“瘦高”，即$\sigma_{甲}＜\sigma_{Z}$，表示甲班的数学成绩更集中，故B错误；对于C，甲班$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{甲}}e^{-\frac{(x-\mu_{甲})^{2}}{2\sigma_{甲}^{2}}}$的最大值为$\frac{1}{5\sqrt{2\pi}}$，则$\sigma_{甲}=5$，则$P(X＞108)=P(X＞\mu+2\sigma)=\frac{1}{2}[1-P(\vert X-\mu\vert\leq2\sigma)]=0.02275\neq4.55\%$，故C错误；对于D，乙班$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{Z}}e^{-\frac{(x-\mu_{Z})^{2}}{2\sigma_{Z}^{2}}}$的最大值为$\frac{1}{6\sqrt{2\pi}}$，则$\sigma_{Z}=6$，则$P(X＞112)=P(X＞\mu+2\sigma)=\frac{1}{2}[1-P(\vert X-\mu\vert\leq2\sigma)]=0.02275$，又这两个班的人数相等，所以乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等，故D正确.

10. 已知随机变量$\eta $服从标准正态分布，若$P(\eta ＜1)=a$，则$P(0＜\eta$$a-\frac{1}{2}$$＜1)=$　　（用字母$a$表示).

答案： 10. $a-\frac{1}{2}$ 随机变量$\eta$服从标准正态分布$N(0,1)$，根据对称性可知$P(\eta＜0)=\frac{1}{2}$.又$P(\eta＜1)=a$，所以$P(0＜\eta＜1)=a-\frac{1}{2}$.

11. 某次数学考试中，学生成绩$X$服从正态分布$N(105,{\sigma }^{2})$.若$P(90\leqslant X\leqslant 120)=\frac{1}{2}$，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120分的概率
是　　.

答案： 11. $\frac{5}{32}$ 因为$X\sim N(105,\sigma^{2})$，所以$\mu=105$，所以$P(X\geq105)=\frac{1}{2}$.因为$P(90\leq X\leq120)=\frac{1}{2}$，所以$P(90\leq X＜105)=P(105\leq X\leq120)=\frac{1}{4}$，所以$P(X＞120)=P(X\geq105)-P(105\leq X\leq120)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，则所求概率为$\mathrm{C}_{3}^{2}·(\frac{1}{4})^{2}×(1-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4})^{3}=\frac{5}{32}$.

12. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如，反复测量某一个物理量，其测量误差$X$通常被认为服从正态分布.若某物理量做$n$次测量，最后结果的误差${X}_{n}\sim N(0,\frac{2}{n})$，
要控制$|{X}_{n}|\geqslant \frac{1}{4}$的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为　　(参考数据：288
$P(\mu -3\sigma \leqslant X\leqslant \mu +3\sigma )=0.9973$).

答案： 12. 288 根据题意得$P(\vert X_{n}\vert\geq\frac{1}{4})\leq0.0027$，则$P(\vert X_{n}\vert＜\frac{1}{4})＞1-0.0027=0.9973$，即$P(-\frac{1}{4}＜X_{n}＜\frac{1}{4})＞0.9973$.因为$\mu=0$，所以$P(-3\sigma\leq X\leq3\sigma)=0.9973$，所以$3\sigma\leq\frac{1}{4}$，所以$\sqrt{\frac{2}{n}}\leq\frac{1}{12}$，解得$n\geq288$，所以至少要测量的次数为288.

13. 新能源汽车是中国的战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展.某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号汽车零件的生产流水线的生产过程.现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差(这里指质量与生产标准之差的绝对值)的样本数据统计如下表.

（1）求样本平均数$\bar{x}$的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差$X$近似服从正态分布$N(\mu ,36)$，用样本平均数$\bar{x}$作为$\mu$的近似值，用频率估计概率，现从该型号的生产流水线中抽取10件汽车零件，记零件的质量差在$[64,82]$内的件数为$Y$，求$Y$的数学期望(精确到0.1).
（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，这两条生产线是否出现废品相互独立.现将这两条生产线生产出来的的零件混放在一起，从中随机抽取一件，求该零件为废品的概率.
参考数据:若随机变量$\xi$服从正态分布$N(\mu ,{\sigma }^{2})$，则$P(\mu -\sigma \leqslant \xi \leqslant \mu +\sigma )=0.6827$，$P(\mu -2\sigma \leqslant \xi \leqslant \mu +2\sigma )=0.9545$，$P(\mu -3\sigma \leqslant \xi \leqslant \mu +3\sigma )=0.9973$.

答案： 13. 解：
(1)依题意可得，$X$的可能取值为3，4，5，6，则$P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{3}\mathrm{C}_{3}^{3}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，$P(X=4)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{3}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，$P(X=5)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{3}^{2}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{9}{20}$，$P(X=6)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{3}^{3}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{20}$，所以$X$的分布列为
$X$ 3 4 5 6
$P$ $\frac{1}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{9}{20}$ $\frac{1}{20}$
因此$E(X)=3×\frac{1}{20}+4×\frac{9}{20}+5×\frac{9}{20}+6×\frac{1}{20}=\frac{9}{2}$.
(2)由
(1)可知，给员工颁发奖金的总数为$4.5×1000=4500$(万元).设每位职工为企业的贡献利润数额为$\xi$，则$\xi\sim N(100,225)$，所以获得奖金的职工数约为$1000P(\xi＞115)=1000P(\xi＞\mu+\sigma)=\frac{1}{2}×1000×[1-P(\mu-\sigma\leq\xi\leq\mu+\sigma)]\approx\frac{1}{2}×1000×(1-0.6827)=158.65\approx159$(人)，则获奖员工可以获得奖金的平均数值为$\frac{4500}{159}\approx28$(万元).