《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

13. 甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下：两人轮流投篮,每人至多投 2 次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏.已知甲每次投中的概率为$\frac{1}{4}$,乙每次投中的概率为$\frac{1}{3}$.
(1) 求乙投篮次数不超过 1 的概率;
(2) 记甲、乙两人投篮次数的总和为 $\xi$,求 $\xi$ 的分布列.

答案： 13. 解：
(1) 记“甲投篮投中”为事件$A$，“乙投篮投中”为事件$B$.“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，故所求的概率$P = P(A+\overline{A}B+\overline{A}\overline{B}A)=P(A)+P(\overline{A}B)+P(\overline{A}\overline{B}A)=P(A)+P(\overline{A})P(B)+P(\overline{A})P(B)P(A)=\frac{1}{4}+\frac{3}{4} × \frac{1}{3}+\frac{3}{4} × \frac{2}{3} × \frac{1}{4}=\frac{5}{8}$. 所以乙投篮次数不超过1的概率为$\frac{5}{8}$.
(2) 甲、乙投篮次数的总和$\xi$的所有可能取值为1,2,3,4，则$P(\xi=1)=P(A)=\frac{1}{4}$，$P(\xi=2)=P(\overline{A}B)=\frac{3}{4} × \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$，$P(\xi=3)=P(\overline{A}\overline{B}A)=\frac{3}{4} × \frac{2}{3} × \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$，$P(\xi=4)=P(\overline{A}\overline{B}\overline{A})=\frac{3}{4} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4}=\frac{3}{8}$. 所以甲、乙投篮次数的总和$\xi$的分布列为
$\xi$ 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$
方法总结 求离散型随机变量的分布列的步骤：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式、对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.

14. (教材变式 某中学举办了一次“航天知识知多少”的知识竞赛.参赛选手从 7 道题(4 道多选题,3 道单选题)中随机抽题作答,若某选手先随机抽取 2 道题,再在剩下的 5 道题中随机抽取 1 道题,则最后抽取到的题为多选题的概率
为 (C)

A.$\frac{18}{35}$
B.$\frac{16}{35}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{1}{7}$

答案： 14. C 设先抽取的2道题中多选题的题数为$X$，则$X$的可能取值为0,1,2，可得$P(X=0)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{7}^{3}}=\frac{1}{7}$，$P(X=1)=\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{4}{7}$，$P(X=2)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{7}^{3}}=\frac{2}{7}$，所以最后抽取到的题为多题的概率为$P = P(X=0) × \frac{4}{5}+P(X=1) × \frac{3}{5}+P(X=2) × \frac{2}{5}=\frac{1}{7} × \frac{4}{5}+\frac{4}{7} × \frac{3}{5}+\frac{2}{7} × \frac{2}{5}=\frac{4}{7}$.
教材链接（选择性必修三习题7.2第5题改编）