《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

13. 甲、乙两人进行象棋比赛,约定谁先赢 3 局谁就直接获胜,比赛结束. 假设每局甲赢的概率为 $ \frac { 1 } { 2 } $,和棋的概率为 $ \frac { 1 } { 4 } $,各局比赛结果相互独立.
(1) 记 $ X $ 为 3 局比赛中甲赢的局数,求 $ X $ 的分布列;
(2) 求乙在 4 局以内(含 4 局)获胜的概率;
(3) 求比赛 6 局结束,且甲获胜的概率.

答案： 13. 解:
(1)由题知甲每局赢的概率为$\frac{1}{2}$,甲不赢的概率为$\frac{1}{2}$,则$X\sim B(3,\frac{1}{2})$,$X$的可能取值为0,1,2,3,所以$P(X=0)=(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$,$P(X=1)=C_{3}^{1}×\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{8}$,$P(X=2)=C_{3}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$,$P(X=3)=(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$,则$X$的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac{1}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{1}{8}$
(2)由题知乙每局赢的概率为$\frac{1}{4}$,乙不赢的概率为$\frac{3}{4}$,因为乙在4局以内(含4局)赢得比赛,所以分两种情况:乙前3局全赢和前3局只有一局不赢,第四局乙赢,所以乙在4局以内(含4局)获胜的概率$P=(\frac{1}{4})^{3}+C_{3}^{1}×(\frac{1}{4})^{2}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{13}{256}$.
(3)由题知比赛6局结束,且甲获胜,应要满足:前5局甲只赢2局且其他三局中至少和棋一局,第六局甲赢.又每局甲赢的概率为$\frac{1}{2}$,和棋的概率为$\frac{1}{4}$,乙赢的概率为$\frac{1}{4}$,所以所求概率为$C_{5}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×[C_{3}^{1}×(\frac{1}{4})^{3}+C_{3}^{2}×(\frac{1}{4})^{2}×\frac{1}{4}+C_{3}^{3}×(\frac{1}{4})^{3}]×\frac{1}{2}=\frac{35}{256}$.

14. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣,举行了一次知识竞赛(三类题目知识题量占比分别为 $ \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } $ ). 甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为 $ \frac { 2 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } $.
(1) 若甲在该题库中任选一题作答,求他回答正确的概率.
(2) 知识竞赛规则:随机从题库中抽取 $ 2 n $ 道题目,答对题目数不少于 $ n $ 道,即可获得奖励. 若以获得奖励的概率为依据,甲在 $ n = 5 $ 和 $ n = 6 $ 之中选其一,则应选择哪个?

答案： 14. 解:
(1)设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识分别为事件$A_{1},A_{2},A_{3}$,所选的题目回答正确为事件$B$,则$P(B)=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})=\frac{1}{4}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{2}$,所以该同学在该题库中任选一题作答,他回答正确的概率为$\frac{1}{2}$.
(2)当$n=5$时,设$X$为甲答对题目的数量,则$X\sim B(10,\frac{1}{2})$,故当$n=5$时,甲获得奖励的概率$P_{1}=P(X=5)+P(X\geq6)$.当$n=6$时,甲获得奖励的情况可以分为如下情况:①前10题答对题目的数量大于等于6;②前10题答对题目的数量等于5,且最后2题至少答对1题;③前10题答对题目的数量等于4,且最后2题全部答对.故当$n=6$时,甲获得奖励的概率$P_{2}=P(X\geq6)+P(X=5)×[1-(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{2})]+P(X=4)×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=P(X\geq6)+\frac{3}{4}P(X=5)+\frac{1}{4}P(X=4)$.又$P_{2}-P_{1}=\frac{1}{4}P(X=4)-\frac{1}{4}P(X=5)=\frac{1}{4}[C_{10}^{4}(\frac{1}{2})^{10}-C_{10}^{5}(\frac{1}{2})^{10}]＜0$,即$P_{2}＜P_{1}$,所以甲应选$n=5$.