《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. $(x-\sqrt{2}y)^{10}$的展开式中$x^6y^4$的系数是840(用数字作答).

答案： 10. 840 展开式的通项为 $T_{k + 1} = C_{10}^k x^{10 - k} (-\sqrt{2} y)^k = C_{10}^k (-\sqrt{2})^k x^{10 - k} y^k$，令 $k = 4$，得 $x^6 y^4$ 的系数为 $C_{10}^4 (-\sqrt{2})^4 =840$.

11. $9^{85}+211$被10整除所得的余数为0.

答案： 11. 0 $9^{85} = (10 - 1)^{85} = C_{85}^0 · 10^{85} · (-1)^0 + C_{85}^1 · 10^{84} ·(-1)^1 + ·s + C_{85}^{84} · 10^1 · (-1)^{84} + C_{85}^{85} · 10^0 · (-1)^{85}$. 因为
$C_{85}^0 · 10^{85} · (-1)^0 + C_{85}^1 · 10^{84} · (-1)^1 + ·s + C_{85}^{84} · 10^1 · (-1)^{84}$能被10整除，所以 $9^{85}$ 被10除所得的余数为9. 因为
211被10整除所得的余数为1，所以 $9^{85} + 211$ 被10整除所
得的余数为0.
方法总结 利用二项展开式证明整除（或带余）问题的关键
是合理地构造出相应的二项式，然后对展开式进行讨论判断，如
本题 $9^{85} = (10 - 1)^{85}$.

12. 已知$(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt[3]{x}})^n$的展开式中前三项的系数成等差数列，则$n=$8，其展开式中的有理项为$x^4$，$\frac{35}{8}x$，$\frac{1}{256}x^{-2}$.

答案： 12. 8 $x^4$，$\frac{35}{8}x$，$\frac{1}{256}x^{-2}$ 根据题意，前三项系数依次为 $C_n^0$，
$\frac{1}{2}C_n^1$，$C_n^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2$. 因为前三项的系数成等差数列，所以 $C_n^0 +C_n^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 × \frac{1}{2}C_n^1$，整理得 $1 + \frac{n(n - 1)}{2} × \frac{1}{4} = n$，解得 $n =8$.
设第 $(k + 1)$ 项为展开式的有理项，于是 $T_{k + 1} =\left(\frac{1}{2}\right)^k C_8^k x^{\frac{8 - 4k}{3}}$，当 $4 - \frac{4}{3}k \in \mathbf{Z}$，$T_{k + 1}$ 为有理项，又 $0 \leqslant k \leqslant 8$
且 $k \in \mathbf{Z}$，于是 $k = 0,4,8$，共有三项，即 $x^4$，$\frac{35}{8}x$，$\frac{1}{256}x^{-2}$.

13. (教材变式)已知$(ax^2+\frac{1}{\sqrt{x}})^n (a＞0)$的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式中常数项为45.求：
(1)该二项式；
(2)该展开式的第5项；
(3)该展开式中含$x^{15}$的项的系数.

答案： 13. 解：
(1)由第5项与第7项的二项数系数相等，得 $C_n^4 =C_n^6$，即 $\frac{n!}{4!(n - 4)!} = \frac{n!}{6!(n - 6)!}$，即 $(n - 4)(n - 5) = 5 × 6$，
解得 $n = 10$. 由题意，得展开式的通项为 $T_{r + 1} =C_{10}^r \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10 - r} (ax^2)^r = a^r C_{10}^r x^{\frac{5r - 10}{2}}$，由 $20 - \frac{5r}{2} = 0$，解得 $r =8$. 所以常数项为 $a^8 C_{10}^8 = 45$，解得 $a = 1$ 或 $a = -1$（舍去）. 所
以所求二项式为 $\left(x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}$.
(2)依题意，该展开式的第5项为 $T_{4 + 1} = C_{10}^4 x^{\frac{20 - 5 × 4}{2}} = 210x^{10}$.
(3)由 $20 - \frac{5r}{2} = 15$，解得 $r = 2$，所以含 $x^{15}$ 的项的系数为
$C_{10}^2 = 45$.
教材链接（选择性必修三习题6.3第8题改编）

14. 若今天(第一天)是星期一，则第$2^{30}$天是星期一.

答案： 14. - 因为 $2^{30} = 8^{10} = (7 + 1)^{10} = C_{10}^0 · 7^{10} · 1^0 + C_{10}^1 · 7^9 ·1^1 + ·s + C_{10}^9 · 7^1 · 1^9 + C_{10}^{10} · 7^0 · 1^{10}$，所以 $2^{30}$ 除以7的余数
为1，所以第 $2^{30}$ 天是星期一.