《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. [2025 山西太原、阳泉期末]已知随机变量$\xi\sim N(2,\sigma^{2})$，且$P(\xi＞2.2)=0.4$，则$P(1.8＜\xi＜2)=$
(A)

A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4

答案： 1. A $P(1.8＜\xi＜2)=P(2＜\xi＜2.2)=0.5 - 0.4 = 0.1$.

2. [2025 广东肇庆期末]某同学参加招聘考试，笔试部分有三个题目，根据经验他答对每一题的概率均为$\frac{2}{3}$，至少答对两题才能进入面试，则该同学能进入面试的概率为(A)

A.$\frac{20}{27}$
B.$\frac{12}{27}$
C.$\frac{8}{27}$
D.$\frac{4}{27}$

答案： 2. A 设答对的题目数量为 $X$,则 $X\sim B(3,\frac{2}{3})$,$P(X\geq2)=P(X = 2)+P(X = 3)=\mathrm{C}_{3}^{2}(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}+(\frac{2}{3})^{3}=\frac{20}{27}$.

3. [2025 河南郑州期末]一个袋子中装有5个白球、3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量$X$，则$P(X\geq6)=$
(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{14}$
C.$\frac{13}{14}$
D.$\frac{3}{7}$

答案： 3. C 由题意，从中任选 4 个球，除取到 4 个白球得 4 分外，其他取法的得分都不小于 6，故 $P(X\geq6)=1 - P(X = 4)=1-\frac{\mathrm{C}_{5}^{5}}{\mathrm{C}_{8}^{4}}=\frac{13}{14}$.

4. [2025 福建福州八县(市)联盟校期中]某元宵晚会共有3个语言类节目，2个杂技魔术类节目，5个歌舞类节目，从中依次不放回地随机抽取两个节目，在第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为
(D)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 4. D 设第一次抽到杂技魔术类节目为事件 $A$,第二次抽到语言类节目为事件 $B$,则 $P(A)=\frac{\mathrm{A}_{2}^{2}+\mathrm{A}_{2}^{1}\mathrm{A}_{8}^{1}}{\mathrm{A}_{10}^{2}}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}$,$P(AB)=\frac{\mathrm{A}_{2}^{1}\mathrm{A}_{1}^{1}}{\mathrm{A}_{10}^{2}}=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$,则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{5}}=\frac{1}{3}$.

5. [2025 湖北武汉期末]为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有50％的学生乘坐公共交通，有30％的学生乘坐私家车，有20％的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通出行的学生中有10％的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有20％的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有5％的人迟到，以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为
(C)

A.$\frac{3}{11}$
B.$\frac{5}{11}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 5. C 设学生乘坐公共交通出行为事件 $A_1$,乘坐私家车出行为事件 $A_2$,步行或骑行出行为事件 $A_3$,上学迟到为事件 B.由题可知 $P(A_1)=\frac{1}{2}$,$P(A_2)=\frac{3}{10}$,$P(A_3)=\frac{1}{5}$,且 $P(B|A_1)=\frac{1}{10}$,$P(B|A_2)=\frac{1}{5}$,$P(B|A_3)=\frac{1}{20}$,所以学生上学迟到的概率 $P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{1}{2}×\frac{1}{10}+\frac{3}{10}×\frac{1}{5}+\frac{1}{5}×\frac{1}{20}=\frac{3}{25}$,所以迟到的学生是乘坐私家车出行的概率为 $P(A_2|B)=\frac{P(A_2B)}{P(B)}=\frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{10}×\frac{1}{5}}{\frac{3}{25}}=\frac{1}{2}$.

6. [2025 江苏扬州评估测试]已知随机变量$\xi$所有可能的取值为$x,y$，且$P(\xi=x)=y$，$P(\xi=y)=x$，则下列说法正确的是
(D)

A.存在$x,y\in(0,1)$，使得$E(\xi)＞\frac{1}{2}$
B.对任意$x,y\in(0,1)$，$E(\xi)\leq\frac{1}{4}$
C.存在$x,y\in(0,1)$，使得$D(\xi)＞E(\xi)$
D.对任意$x,y\in(0,1)$，$D(\xi)\leq\frac{1}{16}$

答案： 6. D 由题意可得 $x + y = 1$,$x,y\in(0,1)$,且 $x\neq\frac{1}{2}$,$y\neq\frac{1}{2}$即 $y = 1 - x$.对于 A,由题意可得,$E(\xi)=xy + yx = 2xy = 2x(1 - x)=2x - 2x^{2}$,因为 $f(x)=2x - 2x^{2}$的图象开口向下,对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$,$x\in(0,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},1)$,所以 $f(0)=f(1)=0$,$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$,故 $0＜f(x)＜\frac{1}{2}$,即 $0＜E(\xi)＜\frac{1}{2}$,不存在 $x,y\in(0,1)$,$E(\xi)＞\frac{1}{2}$,A 错误;对于 B,例如 $x=\frac{1}{3}$,$y=\frac{2}{3}$,则 $E(\xi)=\frac{4}{9}-\frac{1}{4}=\frac{7}{36}$,即存在 $x,y\in(0,1)$,$E(\xi)＞\frac{1}{4}$,B 错误;对于 C,$D(\xi)=[x - E(\xi)]^{2}· y+[y - E(\xi)]^{2}· x=(x - 2xy)^{2}y+(y - 2xy)^{2}x=xy - 4x^{2}y^{2}-2xy=-4x^{2}y^{2}-xy＜0$,故对任意 $x,y\in(0,1)$,$D(\xi)＜E(\xi)$,C 错误;对于 D,令 $t = xy=\frac{1}{2}E(\xi)\in(0,\frac{1}{4})$,则 $g(t)=t - 4t^{2}$的图象开口向下,对称轴为直线 $t=\frac{1}{8}$,且 $g(0)=g(\frac{1}{4})=0$,$g(\frac{1}{8})=\frac{1}{16}$,故 $0＜g(t)\leq\frac{1}{16}$,即 $0＜D(\xi)\leq\frac{1}{16}$,D 正确.