《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，系统就能正常工作.设三台设备的可靠度均为$r(0＜r＜1)$，它们之间相互不影响.
(1) 要使系统的可靠度不低于0.992，求$r$的最小值.
(2) 当$r=0.7$时，求能使系统正常工作的设备数$X$的分布列.
(3) 已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉会给该产业园带来约50万元的经济损失.为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”.
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策，并说明理由.

答案： 14. 解：
(1)要使系统的可靠度不低于$0.992$，设能使系统正常工作的设备数为$X$，则$P(X\geq1)=1-P(X＜1)=1-P(X=0)=1-(1-r)^{3}\geq0.992$，解得$r\geq0.8$，故$r$的最小值为$0.8$.
(2)设$X$为能使系统正常工作的设备数，由题意可知，$X\sim B(3,0.7)$，则$P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0}×0.7^{0}×(1-0.7)^{3}=0.027$，$P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1}×0.7^{1}×(1-0.7)^{2}=0.189$，$P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2}×0.7^{2}×(1-0.7)^{1}=0.441$，$P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3}×0.7^{3}×(1-0.7)^{0}=0.343$，则$X$的分布列为
$X$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P$ $0.027$ $0.189$ $0.441$ $0.343$
(3)设方案$1$、方案$2$的总损失分别为$X_{1},X_{2}$，采用方案$1$，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在$0.8$.因为计算机网络断掉的概率为$\mathrm{C}_{3}^{0}×0.8^{0}×(1-0.8)^{3}=0.008$，所以$E(X_{1})=0.8+0.008×50=1.2$万元.采用方案$2$，花费$0.5$万元增加一台可靠度是$0.7$的备用设备，达到“一用三备”.因为计算机网络断掉的概率为$\mathrm{C}_{4}^{0}×0.7^{0}×(1-0.7)^{4}=0.0081$，所以$E(X_{2})=0.5+0.0081×50=0.905$万元.因此，从经济损失期望最小的角度判断，决策部门应选择方案$2$.