《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

7. 袋子有 5 个不同的小球,编号分别为 1,2,3,4,5. 从袋中一次取出三个球,每个球被取出的概率相同,记随机变量 $\xi$ 是取出球的最大编号与最小编号的差,数学期望为 $E(\xi)$,方差为 $D(\xi)$,则下列结论正确的是
(ABD)

A.$P(\xi = 2)=P(\xi = 4)$
B.$P(\xi = 3)＞P(\xi = 4)$
C.$E(\xi)=3$,$D(\xi)=0.4$
D.$E(\xi)=3$,$D(\xi)=0.6$

答案： 7. ABD 从 5 个球中取 3 个球，取法共有$C_5^3 = 10$（种），其组合分别为$(1,2,3)$，$(1,2,4)$，$(1,2,5)$，$(1,3,4)$，$(1,3,5)$，$(1,4,5)$，$(2,3,4)$，$(2,3,5)$，$(2,4,5)$，$(3,4,5)$，所以随机变量$\xi$的可能取值为$2,3,4$，且$P(\xi = 2)=\frac{3}{10}$，$P(\xi = 3)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，$P(\xi = 4)=\frac{3}{10}$，故 A，B 正确. $E(\xi)=4 × \frac{3}{10}+3 × \frac{4}{10}+2 × \frac{3}{10}=3$，所以$D(\xi)=(4 - 3)^2 × \frac{3}{10}+(3 - 3)^2 × \frac{4}{10}+(2 - 3)^2 × \frac{3}{10}=0.6$，故 C 错误，D 正确.

8. 教材变式 随机变量 $\xi$ 的分布列如下表所示:

则下列选项正确的是 (AD)

A.$E(\xi)=2b$
B.$E(3\xi - 1)=4b - 1$
C.$D(\xi)=4a - b^2$
D.$D(\xi)$ 的最大值为 $\frac{36}{25}$

答案： 8. AD 对于 A，$E(\xi)= - 1 × 2a + 0 + 1 × 2a + 2b = 2b$，故 A 正确；对于 B，$E(3\xi - 1)=3E(\xi)-1 = 6b - 1$，故 B 错误；对于 C，随机变量$\xi^2$的分布列为
$\begin{matrix}\xi^2&0&1&4\\P&a&4a&b\end{matrix}$
则$D(\xi)=\sum_{i = 1}^{3}(\xi_i^2p_i)-(E(\xi))^2 = 0 × a + 1 × 4a + 4 × b-(2b)^2 = 4a + b - b^2$，故 C 错误；对于 D，由题意得$2a + a + 2a + b = 1$，则$a = \frac{1}{5}(1 - b)$，所以$D(\xi)=4(\frac{1}{5}(1 - b)+b - b^2)= - 4(b^2 - \frac{4}{5}b - \frac{1}{5})=-4(b - \frac{2}{5})^2+\frac{36}{25}$，当且仅当$b = \frac{2}{5}$时，$D(\xi)$取得最大值$\frac{36}{25}$，故 D 正确.
教材链接（选择性必修三习题 7.3 第 3 题改编）

9. 某学校期末检测数学试卷的多选题计分标准如下:①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对得 6 分,有选错的得 0 分;②部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个,漏选一个正确选项得 3 分;若某小题正确选项为三个,漏选一个正确选项得 4 分,漏选两个正确选项得 2 分). 若每道多选题有两个或三个正确选项等可能,在完成某道多选题时,甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择 1 个选项,乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择 2 个选项. 若将甲、乙两位同学的得分分别记为 $X$ 和 $Y$,则
(AD)

A.$P(X = 0)＞P(Y = 0)$
B.$P(X = 6)＞P(Y = 6)$
C.$E(X)＞E(Y)$
D.$D(X)＞D(Y)$

答案： 9. AD $P(X = 0)=\frac{1}{2} × \frac{2}{3}+\frac{1}{2} × \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，$P(X = 4)=\frac{1}{2} × \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，$P(X = 6)=\frac{1}{2} × \frac{1}{3} × \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$，则$X$的分布列为
$\begin{matrix}X&0&4&6\\P&\frac{1}{2}&\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}$
所以$E(X)=0 × \frac{1}{2}+4 × \frac{1}{3}+6 × \frac{1}{6}=\frac{7}{3}$，$D(X)=(0 - \frac{7}{3})^2 × \frac{1}{2}+(4 - \frac{7}{3})^2 × \frac{1}{3}+(6 - \frac{7}{3})^2 × \frac{1}{6}=\frac{53}{9}$。
$P(Y = 0)=\frac{1}{2} · \frac{C_3^1}{C_3^2}=\frac{1}{3}$，$P(Y = 4)=\frac{1}{2} · \frac{C_3^2}{C_3^2}=\frac{1}{2}$，$P(Y = 6)=\frac{1}{2} · \frac{C_3^2}{C_3^2}=\frac{1}{6}$，则$Y$的分布列为
$\begin{matrix}Y&0&4&6\\P&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}$
所以$E(Y)=0 × \frac{1}{3}+4 × \frac{1}{2}+6 × \frac{1}{6}=3$，$D(Y)=(0 - 3)^2 × \frac{1}{3}+(4 - 3)^2 × \frac{1}{2}+(6 - 3)^2 × \frac{1}{6}=5$。故 A，D 正确，B，C 错误.

10. 教材变式 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X = i)=\frac{i}{2a}$,$i = 1,2,3$,则 $D(X)=$\frac{5}{9}

答案： 10. $\frac{5}{9}$ 因为$P(X = 1)=\frac{1}{2a}$，$P(X = 2)=\frac{1}{a}$，$P(X = 3)=\frac{3}{2a}$，所以$\frac{1 + 2 + 3}{2a}=1$，解得$a = 3$，所以$P(X = 1)=\frac{1}{6}$，$P(X = 2)=\frac{1}{3}$，$P(X = 3)=\frac{1}{2}$，所以$E(X)=1 × \frac{1}{6}+2 × \frac{1}{3}+3 × \frac{1}{2}=\frac{7}{3}$，所以$D(X)=(1 - \frac{7}{3})^2 × \frac{1}{6}+(2 - \frac{7}{3})^2 × \frac{1}{3}+(3 - \frac{7}{3})^2 × \frac{1}{2}=\frac{5}{9}$。
教材链接（选择性必修三 7.3.2 例 5 改编）

11. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下,若 $X$ 的标准差为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$,则 $E(X)=$\frac{1}{3}或\frac{2}{3}.

答案： 11. $\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$ 由分布列可得$a + b = 1$，$E(X)=0 × a + 1 × b = b$，$D(X)=a(0 - b)^2 + b(1 - b)^2 = ab^2 + b(1 - b)^2 = (1 - b)b^2 + b(1 - b)^2 = b(1 - b)$。由题知$D(X)=\frac{2}{9}$，则$b(1 - b)=\frac{2}{9}$，解得$b = \frac{2}{3}$或$b = \frac{1}{3}$，故$E(X)=\frac{1}{3}$或$E(X)=\frac{2}{3}$。

12. 已知一个袋中装有除颜色外完全相同的 5 个红球,$n(n \in \mathbf{N}^*)$ 个黑球,现从袋中随机摸出 3 个球,设 $X$ 表示摸出红球的个数,若 $P(X = 2)=\frac{4}{7}$,则 $D(X)=$\frac{20}{49}.

答案： 12. $\frac{20}{49}$ 因为$P(X = 2)=\frac{C_2^2C_3^1}{C_5^3}=\frac{60n}{(n + 5)(n + 4)(n + 3)}=\frac{4}{7}$，整理得$(n - 2)(n^2 + 14n - 30)=0$，而$n \in N^*$，解得$n = 2$.
所以$X$的可能取值为$1,2,3$，$P(X = 1)=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{7}$，$P(X = 2)=\frac{4}{7}$，$P(X = 3)=\frac{2}{7}$，则$E(X)=1 × \frac{1}{7}+2 × \frac{4}{7}+3 × \frac{2}{7}=\frac{15}{7}$，$E(X^2)=1 × \frac{1}{7}+4 × \frac{4}{7}+9 × \frac{2}{7}=5$，所以$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=5 - (\frac{15}{7})^2=\frac{20}{49}$。

13. 某大学毕业生响应国家号召,到某村参加村委会主任应聘考核. 考核依次分为笔试、面试、试用分三轮进行,规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核,否则将被淘汰，三轮考核都通过才能被正式录用. 设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为 $\frac{2}{3}$,$\frac{3}{4}$,$\frac{4}{5}$,且各轮考核通过与否相互独立.
(1) 求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率;
(2) 设该大学毕业生在应聘考核中的被考核次数为 $\xi$,求 $\xi$ 的分布列、数学期望和方差.

答案： 13. 解：
(1) 记“该大学毕业生通过第一轮笔试”为事件$A$，“该大学毕业生通过第二轮面试”为事件$B$，“该大学毕业生通过第三轮试用”为事件$C$，则$P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B)=\frac{3}{4}$，$P(C)=\frac{4}{5}$，则该大学毕业生未进入第三轮考核的概率为$p = P(\overline{A + AB})=P(\overline{A}) + P(A)P(\overline{B})=1 - \frac{2}{3}+\frac{2}{3} ×(1 - \frac{3}{4})=\frac{1}{2}$。
(2)$\xi$的所有可能取值为$1,2,3$，则$P(\xi = 1)=P(\overline{A})=1 - P(A)=\frac{1}{3}$，$P(\xi = 2)=P(A\overline{B})=P(A)[1 - P(B)]=\frac{1}{6}$，$P(\xi = 3)=P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}$，所以$\xi$的分布列为
$\begin{matrix}\xi&1&2&3\\P&\frac{1}{3}&\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\end{matrix}$
因此$\xi$的数学期望$E(\xi)=1 × \frac{1}{3}+2 × \frac{1}{6}+3 × \frac{1}{2}=\frac{13}{6}$，$\xi$的方差$D(\xi)=(1 - \frac{13}{6})^2 × \frac{1}{3}+(2 - \frac{13}{6})^2 × \frac{1}{6}+(3 - \frac{13}{6})^2 × \frac{1}{2}=\frac{25}{36}$。