《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

1. 若某种品牌手机的电池使用寿命$X$(单位:年)服从正态分布$N(4,{\sigma }^{2})(\sigma ＞0)$，且使用寿命不少于2年的概率为0.9,则该品牌手机电池至少使用6年的概率为
(D)

A.0.9
B.0.7
C.0.3
D.0.1

答案： 1. D 依题意，得$P(X\geq2)=0.9$，则$P(X＜2)=0.1$，由$\mu=$4知，$P(X\geq6)=P(X＜2)=0.1$。

2. 已知随机变量$\xi $服从正态分布$N(\mu ,16)$，且$P(\xi ＜ -2)+P(\xi \leqslant 6)=1$，则$\mu =$(D)

A.$-4$
B.4
C.$-2$
D.2

答案： 2. D 由$P(\xi＜-2)+P(\xi\leq6)=1$，得$P(\xi＜-2)=1-P(\xi\leq6)$，即$P(\xi＜-2)=P(\xi＞6)$.因为$\xi\sim N(\mu,16)$，由正态曲线关于直线$x=\mu$对称，所以可得$\mu=\frac{-2+6}{2}=2$.

3. 已知随机变量$X$服从正态分布$N(3,{\sigma }^{2})$，则(D)

A.$P(X＜4)＜P(X＜3)$
B.$P(X＜3)＜P(X＞4)$
C.$P(X＞4)＞P(X＞3)$
D.$P(X＞3)＜P(X＜4)$

答案： 3. D 由题意知$\mu=3$，所以$P(X＞4)＜P(X＜3)=P(X＞3)=0.5＜P(X＜4)$，对比选项可知，只有D正确.

4. 高频导向 某汽车制造企业为了了解新研发的一款纯电汽车的续航里程(单位:公里)情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计，这款新型纯电汽车的续航里程$\xi \sim $$N(500,{\sigma }^{2})$.若$P(\xi \leqslant 400)=0.015$，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有
(A)

A.75辆
B.85辆
C.100辆
D.120辆

答案： 4. A 因为$\xi\sim N(500,\sigma^{2}),P(\xi\leq400)=0.015$，所以$P(\xi\geq600)=P(\xi\leq400)=0.015$，故该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有$5000×0.015=75$(辆).

5. 春节前7天我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某地区火车站在此期间每日接送旅客人数$X$(单位:万)近似服从正态分布$N(10,0.{8}^{2})$，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为
(A)

A.$\frac{29}{128}$
B.$\frac{7}{64}$
C.$\frac{39}{64}$
D.$\frac{31}{128}$

答案： 5. A 由$X\sim N(10,0.8^{2})$，得$P(X\geq10)=\frac{1}{2}$，所以7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为$p=\mathrm{C}_{7}^{5}(\frac{1}{2})^{5}(1-\frac{1}{2})^{2}+\mathrm{C}_{7}^{6}(\frac{1}{2})^{6}(1-\frac{1}{2})+\mathrm{C}_{7}^{7}(\frac{1}{2})^{7}=\frac{29}{128}$.

6. 教材变式 李明每天7:00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时30 min，样本方差为36;骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时$X$和骑自行车用时$Y$都服从正态分布，则下列说法错误的是
(A)

A.$P(X＞32)＞P(Y＞32)$
B.$P(X\leqslant 36)=P(Y\leqslant 36)$
C.李明计划7:34前到校，应选择坐公交车
D.李明计划7:40前到校，应选择骑自行车

答案： 6. A 由已知得，$X\sim N(30,6^{2})$，$Y\sim N(34,2^{2})$.对于A，由对称性可知，$P(Y＞32)＞0.5＞P(X＞32)$，故A错误；对于B，$P(X\leq36)=P(X\leq\mu+\sigma)$，$P(Y\leq36)=P(Y\leq\mu+\sigma)$，则$P(X\leq36)=P(Y\leq36)$，故B正确；对于C，$P(X\leq34)＞0.5=P(Y\leq34)$，所以$P(X\leq34)＞P(Y\leq34)$，故C正确；对于D，$P(X\leq40)＜P(X＜42)=P(X＜\mu+2\sigma)$，$P(Y\leq40)=P(Y\leq\mu+3\sigma)$，所以$P(X\leq40)＜P(Y\leq40)$，故D正确.
教材链接（选择性必修三7.5例题改编）

7. 教材变式 设随机变量$X\sim N(0,{2}^{2})$，随机变量$Y\sim N(0,{3}^{2})$，则下列结论错误的是
(ABD)

A.$P(X\leqslant -2)=P(Y\leqslant -2)$
B.$P(X\geqslant 3)＞P(Y\leqslant -3)$
C.$P(X\leqslant -2)=P(Y\geqslant 3)$
D.$P(|X|\leqslant 1)＜P(|Y|\leqslant 1)$

答案： 7. ABD 因为$X\sim N(0,2^{2})$，所以$\mu=0,\sigma_{1}=2$，$Y\sim N(0$，$3^{2})$，则$\mu=0,\sigma_{2}=3$.对于A，$P(X\leq-2)=P(X\leq\mu-\sigma_{1})$，$P(Y\leq-2)＞P(Y\leq-3)=P(Y\leq\mu-\sigma_{2})$，所以$P(X\leq-2)＜P(Y\leq-2)$，故A错误；对于B，$P(X\geq3)＜P(X\geq2)=P(X\geq\mu+\sigma_{1})$，$P(Y\leq-3)=P(Y\leq\mu-\sigma_{2})=P(Y\geq\mu+\sigma_{2})$，所以$P(X\geq3)＜P(Y\leq-3)$，故B错误；对于C，$P(X\leq-2)=P(X\leq\mu-\sigma_{1})$，$P(Y\geq3)=P(Y\geq\mu+\sigma_{2})=P(Y\leq\mu-\sigma_{2})$，所以$P(X\leq-2)=P(Y\geq3)$，故C正确；对于D，因为$\sigma_{1}＜\sigma_{2}$，所以随机变量$X$所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中，所以$P(|X|\leq1)＞P(|Y|\leq1)$，故D错误.
教材链接（选择性必修三7.5练习第2题改编）