《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

9. [2024 广东东莞期末]已知$(1 + x)^{n} - (1 + x)^{2} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ·s + a_{n}x^{n}\left( n \in \mathbf{N}^{*} \right)$,且$a_{2} = 14$.
(1) 求$n$的值;
(2) 求展开式中$x$的奇数次幂的系数之和.

答案： 9.解：
(1)由题得$(1 + x)^{2}=1 + 2x + x^{2}$中含$x^{2}$的项为$x^{2}$，$(1 + x)^{n}$中含$x^{2}$的项为$C_{n}^{2}x^{2}$，所以$a_{2}=C_{n}^{2}-1 = 14$，即$\frac{n(n - 1)}{2}-1 = 14$，整理得$n^{2}-n - 30 = 0$，由$(n - 6)(n + 5)=0$，解得$n = 6$。
(2)解法1　由
(1)得$(1 + x)^{6}-(1 + x)^{2}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+·s+a_{6}x^{6}$，令$x = 1$得$2^{6}-2^{2}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}$，令$x = - 1$得$0 = a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}+a_{6}$，两式相减得$2(a_{1}+a_{3}+a_{5})=64 - 4 = 60$，所以$a_{1}+a_{3}+a_{5}=30$，所以展开式中$x$的奇数次幂的系数和为$30$。
解法2　由
(1)得$(1 + x)^{6}-(1 + x)^{2}=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+·s+a_{6}x^{6}$，由题得$(1 + x)^{2}=1 + 2x + x^{2}$中含$x$的项为$2x$，$(1 + x)^{6}$中含$x$的项为$C_{6}^{1}x$，含$x^{3}$的项为$C_{6}^{3}x^{3}$，含$x^{5}$的项为$C_{6}^{5}x^{5}$，所以$a_{1}+a_{3}+a_{5}=C_{6}^{1}-2 + C_{6}^{3}+C_{6}^{5}=6 - 2 + 20 + 6 = 30$，所以展开式中$x$的奇数次幂的系数和为$30$。