《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 某水果店的草莓每盒进价为20元，售价为30元，草莓保鲜期为两天，若两天之内未售出，则以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决定每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量(单位：十盒)，获得如下数据：

 日销售量/十盒 7 8 9 10 
 天数 8 12 16 4 
假设草莓每日销售量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1) 记每两天销售草莓的总盒数为$X$(单位：十盒)，求$X$的分布列和数学期望；
(2) 以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒、17十盒两种方案中应选择哪种？

答案： 14.解：
(1)日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为
$\frac{1}{5},\frac{3}{10},\frac{2}{5},\frac{1}{10}$.根据题意，$X$的所有可能取值为$14,15,16,$
$17,18,19,20$，则$P(X=14)=\frac{1}{5} × \frac{1}{5}=\frac{1}{25}$，$P(X=15)=$
$\frac{1}{5} × \frac{3}{10} × 2=\frac{3}{25}$，$P(X=16)=\frac{1}{5} × \frac{2}{5} × 2+\frac{3}{10} × \frac{3}{10}=\frac{1}{4}$，
$P(X=17)=\frac{3}{10} × \frac{2}{5} × 2+\frac{1}{5} × \frac{1}{10} × 2=\frac{7}{25}$，$P(X=18)=$
$\frac{3}{10} × \frac{1}{10} × 2+\frac{2}{5} × \frac{2}{5}=\frac{11}{50}$，$P(X=19)=\frac{2}{5} × \frac{1}{10} × 2=\frac{2}{25}$，
$P(X=20)=\frac{1}{10} × \frac{1}{10}=\frac{1}{100}$.所以$X$的分布列为
$\begin{array}{c|ccccccc}X & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline P & \frac{1}{25} & \frac{3}{25} & \frac{1}{4} & \frac{7}{25} & \frac{11}{50} & \frac{2}{25} & \frac{1}{100} \end{array}$
所以$E(X)=14 × \frac{1}{25}+15 × \frac{3}{25}+16 × \frac{1}{4}+17 × \frac{7}{25}+18 ×$
$\frac{11}{50}+19 × \frac{2}{25}+20 × \frac{1}{100}=16.8$.
(2)当每两天进16十盒时，利润为$(14 × 10-2 × 10) ×$
$\frac{1}{25}+(15 × 10-1 × 10) × \frac{3}{25}+16 × 10 × (1-\frac{1}{25}-\frac{3}{25})=156$
（元）；当每两天进17十盒时，利润为$(14 × 10-3 × 10) ×$
$\frac{1}{25}+(15 × 10-2 × 10) × \frac{3}{25}+(16 × 10-1 × 10) × \frac{1}{4}+17 ×$
$10 × (1-\frac{1}{25}-\frac{3}{25}-\frac{1}{4})=157.8$（元）.因为$157.8＞156$，所以
每两天进17十盒利润较大.故应该选择每两天进17十盒.
核心笔记
1.求离散型随机变量的期望的步骤：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值及
其含义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，
求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，可用分布
列的性质检验所求分布列正确与否；
第四步是“求期望值”，利用离散型随机变量的期望的定义
求期望的值.（练习运用：第2题）
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第七章 随机变量及其分布
2.求离散型随机变量的期望(均值)的方法：
(1)由随机变量分布列，利用期望的定义求解；
(2)利用随机变量的性质$E(aX+b)=aE(X)+b$求解.（练
习运用：第3题）