《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

13. 高频导向 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.
(1) 若单局比赛甲班胜乙班的概率为$\frac{1}{2}$，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，则甲、乙两班获胜的概率是否相等？请说明理由.
(2) 设单局比赛甲班胜乙班的概率为$p(0＜p＜1)$，若比赛6局，则甲班恰好获胜3局的概率最大，求此时$p$的值.
(3) 若单局比赛甲班胜乙班的概率为第(2)问中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时$p$的值，比赛改用“5局3胜”制，设$X$为本场比赛的局数，求$X$的数学期望.

答案： 13. 解：
(1)记“比赛两局，甲班全胜”为事件$A$，“比赛三局，甲班前两局中胜一局，第三局胜”为事件$B$.因为$A,B$为互斥事件，所以$P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\mathrm{C}_{2}^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.所以甲班获胜的概率是$\frac{1}{2}$，从而乙班获胜的概率也是$\frac{1}{2}$.故甲、乙两班获胜的概率相等.
(2)设比赛$6$局，甲班恰好获胜$3$局的概率为$f(p)$，则$f(p)=\mathrm{C}_{3}^{3}p^{3}(1-p)^{3}.f(p)=\mathrm{C}_{3}^{3}[p(1-p)]^{3}\leq\mathrm{C}_{3}^{3}\left\{\left[\frac{p+(1-p)}{2}\right]^{2}\right\}^{3}=\mathrm{C}_{3}^{3}\frac{1}{64}=\frac{5}{16}$，所以当且仅当$p=1-p$，即$p=\frac{1}{2}$时，甲班恰好获胜$3$局的概率最大.
(3)$X$的可能取值为$3,4,5$.比赛$3$局结束有两种情况，即甲班胜$3$局，或乙班胜$3$局，则$P(X=3)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{4}$；比赛$4$局结束有两种情况，即前$3$局中甲班胜$2$局、第$4$局甲班胜或前$3$局中乙班胜$2$局、第$4$局乙班胜，则$P(X=4)=\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$；比赛$5$局结束有两种情况，即前$4$局中甲班胜$2$局、第$5$局甲班胜或前$4$局乙班胜$2$局、第$5$局乙班胜，则$P(X=5)=\mathrm{C}_{4}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×\left(\frac{1}{2}\right)^{2}×1=\frac{3}{8}$.
$X$的分布列为
$X$ $3$ $4$ $5$
$P$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{8}$
所以$E(X)=3×\frac{1}{4}+4×\frac{3}{8}+5×\frac{3}{8}=\frac{33}{8}$.