《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. [2025 广东汕尾期末]随机变量$\xi$的分布列如表所示，且$E(\xi)=0$，则$D(\xi)=$6.

答案： 10. 6 由题意可得 $\begin{cases}\frac{1}{3}+b+\frac{1}{3}=1,\frac{1}{3}a + 1 = 0,\end{cases}$解得 $\begin{cases}b=\frac{1}{3},\\a=-3,\end{cases}$所以 $D(\xi)=(-3 - 0)^{2}×\frac{1}{3}+(0 - 0)^{2}×\frac{1}{3}+(3 - 0)^{2}×\frac{1}{3}=6$.

11. [2025 河南郑州期末]某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，分为A卷、B卷、C卷3套.若该同学抽到A卷过关的概率为$\frac{2}{3}$，抽到B卷过关的概率为$\frac{1}{2}$，抽到C卷过关的概率为$\frac{1}{6}$，记该同学过关的概率为$p_{1}$.若已知该同学过关，记他抽到A卷的概率为$p_{2}$，则$p_{1}=$\frac{4}{9}，$p_{2}=$\frac{1}{2}.

答案： 11. $\frac{4}{9}\frac{1}{2}$ 抽到 A 卷的概率记作 $P(A)$,抽到 B 卷的概率记作 $P(B)$,抽到 C 卷的概率记作 $P(C)$,由题意得 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$,由全概率公式知,$p_1=\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{1})=\frac{4}{9}$.所以 $p_2=\frac{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}}=\frac{1}{2}$.

12. [2025 湖北武汉期末]某高中学校为了表彰工作认真负责、业务能力强的优秀团员干部，给高中三个年级共分配了9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额，从所有可能的分配方案中随机选择一种，用$X$表示这三个年级中被分配到的最少名额数，则$X$的数学期望$E(X)=$\frac{39}{28}.

答案： 12. $\frac{39}{28}$ 若三个年级被分配到的名额个数分别为 $a,b,c$,则 $a + b + c = 9$.又每个年级至少一个名额,所以可用隔板法,则有 $\mathrm{C}_{8}^{2}=28$(种).由题意知 $X=\min\{a,b,c\}$,则 $X = 1,2,3$用 $(a,b,c)$表示一种分配情况,其中 $X = 3$的情况只有$(3,3,3)$这一种,即 $P(X = 3)=\frac{1}{28}$;$X = 2$的情况有$(2,2,5)$,$(2,5,2)$,$(5,2,2)$,$(2,3,4)$,$(2,4,3)$,$(3,2,4)$,$(3,4,2)$,$(4,2,3)$,$(4,3,2)$,共 9 种,即 $P(X = 2)=\frac{9}{28}$;所以 $P(X = 1)=1-\frac{1}{28}-\frac{9}{28}=\frac{18}{28}$.综上,$E(X)=3×\frac{1}{28}+2×\frac{9}{28}+1×\frac{18}{28}=\frac{39}{28}$.

13. [2025 广东肇庆期末]某商场举行回馈客户抽奖活动，已知有三个盒子，每个盒子都装有大小、形状相同的球，其中第一个盒子中有3个红球、3个黄球、2个蓝球；第二个盒子中有5个红球、3个黄球、2个蓝球；第三个盒子中有3个红球、4个黄球、3个蓝球.
(1) 如果顾客从第一个盒子中随机取出两个球，求取到的球一个是红球，一个是蓝球的概率；
(2) 已知顾客随机从三个盒子中的某一个盒子取出一个球为红球，求该红球来自第一个盒子的概率；
(3) 顾客随机从三个盒子中取出一个球，抽奖活动规则是取到红球奖励240元代金券，取到黄球奖励480元代金券，取到蓝球奖励720元代金券，设顾客获得代金券的金额为$X$元，求$X$的分布列以及均值.

答案： 13. 解:
(1)设顾客取出一个红球和一个蓝球为事件 $A$,则 $P(A)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{1}\mathrm{C}_{1}^{1}}{\mathrm{C}_{8}^{2}}=\frac{3}{14}$.
(2)设随机取一个球是来自第 $i(i = 1,2,3)$个盒子为事件 $A_i$,则 $P(A_i)=\frac{1}{3}$,设随机取一个球为红球为事件 $B$,则 $P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)· P(B|A_3)=\frac{1}{3}×\frac{3}{8}+\frac{1}{3}×\frac{5}{10}+\frac{1}{3}×\frac{3}{10}=\frac{47}{120}$,所以 $P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}×\frac{3}{8}}{\frac{47}{120}}=\frac{15}{47}$.
(3)由题意,$X$的可能取值为 240,480,720.由
(2)知 $P(X = 240)=\frac{47}{120}$,同理,$P(X = 480)=\frac{1}{3}×\frac{3}{8}+\frac{1}{3}×\frac{5}{10}+\frac{1}{3}×\frac{3}{10}=\frac{43}{120}$,$P(X = 720)=\frac{1}{3}×\frac{2}{8}+\frac{1}{3}×\frac{2}{10}+\frac{1}{3}×\frac{3}{10}=\frac{1}{4}$,则 $X$的分布列为
$X$ 240 480 720
$P$ $\frac{47}{120}$ $\frac{43}{120}$ $\frac{1}{4}$
所以 $E(X)=240×\frac{47}{120}+480×\frac{43}{120}+720×\frac{1}{4}=446$.