《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

9. 已知函数$y = a x^2 + b x + c$,其中$a,b,c \in \{ - 2, - 1,0,1,2,3 \}$,则下列说法错误的是
(BD)

A.组成不同的二次函数的个数为 180
B.图象开口向上且对称轴在$y$轴右边的不同的二次函数的个数为 6
C.图象过原点且顶点在第一象限的不同的二次函数的个数为 6
D.图象的对称轴在$y$轴左边且在$y$轴上的截距为正的不同的二次函数的个数为 27

答案： 9. BD 对于A，由题意，得$a\neq0$，$a$的选择一共有$C_3^1$种，$b$的选择一共有$C_3^1$种，$c$的选择共$C_3^1$种，则不同的二次函数的个数为$C_3^1C_3^1C_3^1=180$，故A正确.对于B，由题意，得$-\frac{b}{2a}＞0$且$a＞0$，解得$b＜0$，则不同的二次函数的个数为$C_3^1C_3^1C_3^1=36$，故B错误.对于C，由题意，得$c=0$且$-\frac{b}{2a}＞0$，$-\frac{b^2}{4a}＞0$，解得$a＜0$且$b＞0$，则不同的二次函数的个数为$C_3^1C_3^1=6$，故C正确.对于D，由题意，得$-\frac{b}{2a}＜0$且$c＞0$，解得$ab＞0$且$c＞0$.当$a＞0$时，二次函数的个数为$C_3^1C_3^1C_3^1$；当$a＜0$时，二次函数的个数为$C_3^1C_3^1C_3^1+C_3^1C_3^1C_3^1=27+12=39$，故D错误.

10. 已知$C_{12}^{x + 2} = C_{12}^{2 x - 5}$,则$x$的可能取值为7或5.

答案： 10.7或5 由题意，根据组合数的性质$x+2=2x-5$或$x+2+2x-5=12$，解得$x=7$或$x=5$.

11. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼梯可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用八步走完,则不同的走完的方法有28种.

答案： 11.28 由题意，这八步中有六步是一步上一级，两步是一步上两级，只需确定这八步中，哪两步是一步上两级，即得答案为$C_8^2=28$.

12. 如图,机器人亮亮沿着单位网格,从 A 地移动到 B 地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从 A 移动到 B 的最短路径共有80种.

答案： 12.80 分三步来完成：①从A到C，则亮亮要移动两步，一步是向右移动一个单位长度，一步是向上移动一个单位长度，此时有$C_2^1$种走法；②从C到D，则亮亮要移动六步，其中三步是向右分别移动一个单位长度，另三步是向上分别移动一个单位长度，此时有$C_6^3$种走法；③从D到B，由①可知有$C_2^1$种走法.不同的走法共有$C_2^1C_6^3C_2^1=80$(种).

13. 变式探究 将 6 本不同的书分别按如下方式来分,各有多少种不同的分法?
(1)分成 3 份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本;
(3)平均分成三份,每份 2 本;
(4)平均分给甲、乙、丙三人,每人 2 本;
(5)分给甲、乙、丙、丁四人,每人至少 1 本.

答案： 13.解：
(1)先选1本有$C_6^1$种选法，再从余下的5本中选2本有$C_5^2$种选法，最后余下3本全选有$C_3^3$种方法，故共有$C_6^1C_5^2C_3^3=60$(种).
(2)由
(1)知，分组后再分别分给甲、乙、丙的方法共有$C_6^1C_5^2C_3^3A_3^3=360$(种).
(3)先分第一堆有$C_6^2$种分法，再分第二堆，有$C_4^2$种分法，最后分第三堆，有$C_2^2$种分法，但堆与堆之间没有区别，是平均分组无归属问题，故把6本不同的书平均分成3堆，共有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}=15$(种).
(4)是平均分组有归属问题，由
(3)知，分组后再分配给3个人，分配方式共有$\frac{C_6^2C_4^2C_2^2}{A_3^3}· A_3^3=90$(种).
(5)分两类：第一类，当4位同学分得的书本数为1,1,1,3时，共有$\frac{C_6^1C_5^1C_4^1C_3^3}{A_3^3}A_4^1=480$(种)；第二类，当4位同学分得的书本数为1,1,2,2时，共有$\frac{C_6^1C_5^1C_4^2C_2^2}{A_2^2A_2^2}A_4^1=1080$(种)，由分类加法计数原理知共有$480+1080=1560$(种).

14. 有 10 名演员,其中 8 人会唱歌,5 人会跳舞,现要表演一个 2 人唱歌、2 人伴舞的节目,则不同的选派方法共有
(A)

A.199 种
B.168 种
C.125 种
D.90 种

答案： 14.A（多面手问题）由$8+5-10=3$，知10名演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员.以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究：①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员，有$C_5^0C_5^3$种选派方法，②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员，有$C_5^1C_5^2$种选派方法，③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员，有$C_5^2C_3^1C_3^2$种选派方法.即选派方法共有$C_5^0C_3^3+C_5^1C_3^2C_3^2+C_5^2C_3^1=199$(种).