《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 现调查某地区某种野生动物的数量,将该地区分成面积相近的 100 个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 10 个作为样本,调查得到样本数据$(x_i,y_i)(i=1,2,·s,10)$,其中$x_i,y_i$分别表示第$i$个样本的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,$x\bar{},y\bar{}$分别表示这 10 个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值,构造向量$\boldsymbol{a}=(x_1-\bar{x},x_2-\bar{x},·s,x_{10}-\bar{x}),\boldsymbol{b}=(y_1-\bar{y},y_2-\bar{y},·s,y_{10}-\bar{y})$,并计算得$\sum_{i=1}^{10}x_i=30,\sum_{i=1}^{10}y_i=600,\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=2280,|\boldsymbol{a}|=5,|\boldsymbol{b}|=100$,由选择性必修第一册教材中的知识,我们知道$n$对数据的样本相关系数$r=\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$,则上述数据$(x_i,y_i)(i=1,2,·s,10)$的样本相关系数$r=$0.96 .

答案： 14. 0.96　因为$\sum_{i = 1}^{10}x_{i}$ = 30，$\sum_{i = 1}^{10}y_{i}$ = 600，所以$\overline{x}$ = $\frac{30}{10}$ = 3，$\overline{y}$ = $\frac{600}{10}$ = 60，则$\overrightarrow{a}$·$\overrightarrow{b}$ = (x₁ - $\overline{x}$,x₂ - $\overline{x}$,...,x₁₀ - $\overline{x}$)·(y₁ - $\overline{y}$,y₂ - $\overline{y}$,...,y₁₀ - $\overline{y}$) = $\sum_{i = 1}^{10}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})$ = $\sum_{i = 1}^{10}x_{i}y_{i}$ - 10$\overline{x}$$\overline{y}$ = 2280 - 10×3×60 = 480，所以r = cos＜$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$＞ = $\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$ = $\frac{480}{5×100}$ = 0.96。