《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

12. 学习之于才干信仰,犹如运动之于健康体魄,持之以久、行之愈远愈受益.为实现中华民族伟大复兴,全国各行各业掀起了“学习强国”的热潮.某老师很喜欢“学习强国”中的“挑战答题”模块,他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表:

参考数据:$\bar{x}=4,\bar{y}=19,\sum_{i=1}^{7}x_i^2=140,\sum_{i=1}^{7}y_i^2=2695,\sum_{i=1}^{7}x_iy_i=600,\sqrt{6}\approx2.45$,样本相关系数$r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\bar{y}^2}}$
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数$y$与天数$x$之间是正 相关(填“正”或“负”),其样本相关系数$r\approx$0.99 .(结果保留两位小数)

答案： 12. 正　0.99　由表中数据得y随x的增大而增大，所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关。
r = $\frac{\sum_{i = 1}^{7}x_{i}y_{i}-7\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{7}x_{i}^{2}-7\overline{x}^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{7}y_{i}^{2}-7\overline{y}^{2}}}$ = $\frac{600 - 7×4×19}{\sqrt{140 - 7×4²}\sqrt{2695 - 7×19²}}$ = $\frac{17}{7×2.45}$≈0.99。

13. (教材变式)某景区试卖一款纪念品,现统计了该款纪念品的定价$x$(单位:元)与销量$y$(单位:百件)的对应数据,如下表所示.

(1) 求该纪念品定价的平均值$\bar{x}$和销量的平均值$\bar{y}$;
(2) 计算$x$与$y$的样本相关系数.
参考公式:样本相关系数$r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$.参考数据:$\sqrt{\frac{64}{65}}\approx0.992$.

答案： 13. 解：
(1)$\overline{x}$ = $\frac{1}{5}$×(12 + 12.5 + 13 + 13.5 + 14) = 13，$\overline{y}$ = $\frac{1}{5}$×(14 + 13 + 11 + 9 + 8) = 11。
(2)因为$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}$ = 1² + 0.5² + 0² + 0.5² + 1² = 2.5，$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}$ = 3² + 2² + 0² + 2² + 3² = 26，$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})$ = -3 - 1 + 0 - 1 - 3 = -8，所以r = $\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$ = -$\frac{8}{\sqrt{2.5×26}}$≈ -0.992。