《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

10. 用数字1,2组成一个三位数，且每个数字至少出现一次，则这样的三位数有6个(用数字作答).

答案： 10.6　分两类计数:第一类，一个1,两个2,这样的三位数有3个;第二类，一个2,两个1，这样的三位数也有3个.所以共有3+3=6(个).

11. 用0,1,2,3,4五个数字，可以排出125个含三位数字的密码，可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

答案： 11.125　30　三位数字的密码，首位可以是0,数字也可以重复，每个位置都有5种排法，故不同的三位数字的密码有5×5×5=125(个).能被2整除的数即偶数，个位数字可取0,2,4,因此，可以分两类，一类是个位数字为0,则有4×3=12(种)排法;另一类是个位数字不为0,则个位有2种排法，即2或4,再排百位，因为0不能在百位，所以有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3=18(种)排法.故共有12+18=30(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

12. 为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲手中，则传法总数为21.

答案：
12.21　解法1　由题意，第1次传球有3种方法，第2次传球分成“球到甲手中”和“球不到甲手中”两类方法，第3次传球，球一定不到甲手中，第4次传球，球只能到甲手中.所以，
(1)当第2次传球后球在甲手中时，第3次传球可能为丙或乙或丁，共有3种方法;
(2)当第2次传球后球不在甲手中时，有2种方法，则第3次传球有2种方法.所以经过4次传球，球仍回到甲的传法总数为3×(1×3+2×2)=21.
解法2　当甲第一次传给乙时，满足条件的传法有7种(如图)，同理，第一次传给丙或丁时，满足条件的也是7种传法，所以经过4次传球，球仍回到甲的传法总数为7+7+7=21.

13. (变式探究)甲、乙、丙3人准备站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站3人，同一级台阶上的人不区分站的位置.求：
(1) 甲站在最底层台阶的不同的站法数；
(2) 乙、丙2人站在同一台阶的不同的站法数；
(3) 甲、乙、丙3人站在不同台阶的站法数；
(4) 3人不同的站法数.

答案： 13.解:
(1)第一步站甲只有1种方法，第二步站乙有6种方法，第三步站丙有6种方法，因此不同的站法有1×6×6=36(种).
(2)第一步站乙、丙有6种方法，第二步站甲有6种方法，因此不同的站法有6×6=36(种).
(3)第一步站甲有6种方法，第二步站乙有5种方法，第三步站丙有4种方法，因此不同的站法有6×5×4=120(种).
(4)第一步站甲有6种方法，第二步站乙有6种方法，第三步站丙有6种方法，因此不同的站法有6×6×6=216(种).

14. 某景区下周一至周六空气质量预报情况如下表所示：

该市有甲、乙、丙三人计划在下周一至周六选择一天到该景区旅游，①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择周四出游；③丙不选择周一出游；④甲与乙不选择同一天出游.从这四个条件中任选三个，选择，则这三人出游的不同方法的种数为.

答案： 14.①②③　100或①②④　102或①③④　100或②③④125　　若选择①②③，甲、乙、丙不同的选法分别为4,5,5，则三人出游的不同方法数为4×5×5=100.若选择①②④，则需分两类:第一类，若甲选择周四出游，则三人出游的不同方法数为5×6=30;第二类，若甲不选择周四出游，则三人出游的不同方法数为3×4×6=72.故这三人出游的不同方法数为30+72=102.若选择①③④，甲、乙、丙不同的选法分别为4,5,5,则三人出游的不同方法数为4×5×5=100.若选择②③④,甲、乙、丙不同的选法分别为5,5,5,则三人出游的不同方法数为5×5×5=125.