《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. $[2025$安徽亳州期末$]$设$(x+3)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+·s+a_{n}x^{n}$.
(1)求$a_{1}+a_{2}+·s+a_{n}$;
(2)若$a_{5}$是$a_{0},a_{1},a_{2},·s,a_{n}$中唯一的最大值，求$n$的所有可能取值;
(3)若$(x+3)^{n}=b_{0}+b_{1}(x+2)+b_{2}(x+2)^{2}+·s+b_{n}(x+2)^{n}$,求$\sum_{r=1}^{n}\frac{b_{r-1}}{r}$.

答案： 14. 解：
(1)令$x = 1$，可得$a_{0} + a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} = 4^{n}$；令$x =$
0，可得$a_{0} = 3^{n}$，所以$a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} = 4^{n} - 3^{n}$.
(2)$(3 + x)^{n}$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_{n}^{3}3^{n - r}x^{r}$，$r = 0,1$，$2$，$·s$，$n$，所以$a_{r} = C_{n}^{r}3^{n - r}$，$r = 0,1,2$，$·s$，$n$. 因为$a_{5}$是$a_{0},a_{1}$，$a_{2}$，$·s$，$a_{n}$中唯一的最大值，所以$\begin{cases}C_{n}^{5}3^{n - 5} ＞ C_{n}^{3}3^{n - 4}, \\C_{n}^{5}3^{n - 5} ＞ C_{n}^{6}3^{n - 6}, \end{cases}$即
$\begin{cases}\frac{n!}{5!(n - 5)!} ＞ \frac{3 × n!}{4!(n - 4)!}, \frac{3 × n!}{5!(n - 5)!} ＞ \frac{n!}{6!(n - 6)!}, \end{cases}$
解得$19 ＜ n ＜ 23$，所以$n$的所有可能取值为$20,21,22$.
(3)因为$(x + 3)^{n} = [1 + (x + 2)]^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1}(x + 2) + C_{n}^{2} ·$
$(x + 2)^{2} + ·s + C_{n}^{n}(x + 2)^{n}$，所以$b_{r} = C_{n}^{r}$，$r = 0,1,2$，$·s$，$n$，则$\sum_{r = 1}^{n}\frac{b_{r - 1}}{r} = C_{n}^{0} + \frac{C_{n}^{1}}{2} + ·s + \frac{C_{n}^{n - 1}}{n}$. 因为$\frac{C_{n}^{r - 1}}{r} = \frac{1}{n + 1} ×$
$\frac{(n + 1)!}{r!(n - r + 1)!} = \frac{C_{n + 1}^{r}}{n + 1}$，所
以$\sum_{r = 1}^{n}\frac{b_{r - 1}}{r} = \frac{1}{n + 1}(C_{n + 1}^{1} + C_{n + 1}^{2} + ·s + C_{n + 1}^{n}) = \frac{2^{n + 1} - 2}{n + 1}$.