《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 小张举办了一次抽奖活动. 顾客花费 3 元钱可获得一次抽奖机会. 每次抽奖时，顾客从装有 1 个黑球、3 个红球和 6 个白球(除颜色外其他都相同)的不透明的袋子中依次不放回地摸出 3 个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖. 顾客中一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取的奖金为 a 元、10 元、5 元、1 元. 若经营者小张将顾客摸出的 3 个球的颜色分成以下五种情况：A，1 个黑球 2 个红球；B，3 个红球；C，恰有 1 个白球；D，恰有 2 个白球；E，3 个白球. 小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖.
(1) 通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况(写出字母即可)；
(2) 已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；
(3) 设顾客抽一次奖，小张获利 X 元，求随机变量 X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求 a 的最大值.

答案： 14.解:
(1)$P(A)=\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{3}{120}=\frac{1}{40},P(B)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{120},$
$P(C)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10},P(D)=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2},P(E)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}.$则有$P(B)＜P(A)＜P(P)＜P(C)＜P(D)$,
所以中一至四等奖分别对应的情况是B,A,E,C.
(2)记事件F为“顾客摸出的第一个球是红球”,事件G为“顾客获得二等奖”.
解法1 由$P(F)=\frac{C_{1}^{1}C_{2}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{9}{10},P(GF)=\frac{C_{1}^{1}C_{1}^{1}C_{1}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{20},$则$P(G|F)=\frac{P(GF)}{P(F)}=\frac{1}{18}.$
解法2 原命题等价于“从装有1个黑球,2个红球和6个白球的不透明的袋子中依次不放回地摸出2个球,摸出1个黑球1个红球”的概率,则$P(G|F)=\frac{C_{1}^{1}C_{1}^{1}}{C_{3}^{2}}=\frac{1}{18}.$
(3)X可能的取值为$3-a,-7,-2,2,3$,则分布列为
X $3-a$ -7 -2 2 3
P $\frac{1}{120}$ $\frac{1}{40}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{2}$
由题意得,若要不亏本,则$\frac{1}{120}×(3-a)+\frac{1}{40}×(-7)+\frac{1}{6}×(-2)+\frac{3}{10}×2+\frac{1}{2}×3\geq0$,解得$a\leq194$,即$a$的最大值为194.
核心笔记
1.超几何分布描述的是不放回的抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.
超几何分布的特征是:
(1)考查对象分两类;
(2)已知各类对象的个数;
(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体数X的概率分布.(练习运用:第1题)
2.求超几何分布列需要解决两个问题:一是确定随机变量$\xi$的可能取值;二是计算$\xi$取每个值对应的概率.(练习运用:第14题)
3.易错提醒:在抽样问题中“不放回”与“放回”是区分超几何分布与二项分布的标志.(练习运用:第9题)