《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

8. 对如图所示的四块区域进行着色，每块区域涂一种颜色，现有红、绿、蓝、黄四种不同的颜色可供选择，则
(BD)


A.区域Ⅱ涂红色，其他区域用绿、蓝、黄涂不同色的方法有12种
B.四种颜色都要用上的涂色方法有24种
C.区域Ⅱ，Ⅲ同色，区域Ⅰ，Ⅳ与Ⅱ，Ⅲ不同色的涂色方法有24种
D.有公共边界的两块区域不同色的涂色方法有48种

答案： 8．BD 对于A，第一步对区域Ⅲ涂色有3种方法，第二步对区域Ⅰ涂色有2种方法，第三步对区域Ⅳ涂色有1种方法，总的方法数为3×2×1=6，故A错误；对于B，第一步用红色涂区域有4种方法，第二步用蓝色涂区域有3种方法，第三步用绿色涂区域有2种方法，第四步用黄色涂区域有1种方法，总的方法数为4×3×2×1=24，故B正确；对于C，第一步对区域Ⅱ，Ⅲ涂色有4种方法，第二步对区域Ⅰ涂色有3种方法，第三步对区域Ⅳ涂色有3种方法，总的方法数为4×3×3=36，故C错误；对于D，第一步对区域Ⅱ涂色有4种方法，第二步对区域Ⅲ涂色有3种方法，第三步对区域Ⅰ涂色有2种方法，第四步对区域Ⅳ涂色有2种方法，总的方法数为4×3×2×2=48，故D正确.
方法总结 应用两个计数原理解决问题时主要考虑：
(1)解决这件事是先分类还是先分步；
(2)确定分步、分类的标准.
解题突破 解决涂色问题，可按不同的区域分步完成，也可按颜色的种数分类.

9. 已知整数2160，则下列说法正确的有
(ABD)

A.不同的正因数有40个
B.含有5的正因数有20个
C.能被6整除的正因数有12个
D.所有正因数的和是7440

答案： 9．ABD 整数2160=$2^{4}×3^{3}×5$，记2160的正因数为$N=2^{\alpha}×3^{\beta}×5^{\gamma}$（其中$\alpha=0,1,2,3,4,\beta=0,1,2,3,\gamma=0,1$）.对于A，2160不同的正因数的个数为5×4×2=40，故A正确；对于B，2160含有5的正因数个数为5×4×1=20，故B正确；对于C，2160能被6整除的正因数的个数为4×3×2=24，故C错误；对于D，2160所有正因数的和为$(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4})×(3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3})×(5^{0}+5^{1})=7440$，故D正确.

10. 一个4层书架上，分别放置了科普类读物10本，人文类读物10本，自然类读物9本，漫画类读物8本，每本书各不相同，从中取出1本，则不同的取法种数为37.

答案： 10．37 不同的取法种数为10+10+9+8=37.

11. 教材变式 如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有9条不同的线路(每条线路仅含一条通路).

答案： 11．9 依题意，按上、中、下三条线路可分为三类：上方线路有2种，中间线路只有1种，下方线路有2×3=6（种）.根据分类加法计数原理，共有2+1+6=9（种）.
教材链接（选择性必修三6.1练习3第3题改编）

12. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种. 现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，则让三位同学对选取的礼物都满意的选择方法共有100种(用数字作答).

答案： 12．100 由于三人都喜欢牛、羊这两种吉祥物，分以下几种情况讨论：若甲选牛或羊作吉祥物，则乙有3种选择，丙有10种选择，此时，不同的选择方法种数为2×3×10=60；若甲选马作吉祥物，则乙有4种选择，丙有10种选择，此时，不同的选择方法种数为1×4×10=40.综上所述，不同的选择方法种数为60+40=100.