《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

6. [2025 福建三明六校期中联考]为迎接“五一劳动节”,某校举行“劳动最光荣”知识竞
赛. 竞赛共有 A,B 两类试题,每类试题各 10 道,答对 1 道 A 类试题得 10 分,答对 1 道
B 类试题得 20 分,答错不扣分. 参赛者从这两类试题中挑一类来回答(只需选择其中一
类回答),每类抽出 3 道题回答(抽后不放回). 已知小明在 A 类试题中有 7 道题能答
对,B 类试题中每道题答对的概率均为$\frac {11}{30}$.
(1) 若小明选择回答 A 类试题,则设小明回答结束后的总得分为$X$,求$X$的分布列和
期望.
(2) 若小明选择回答 B 类试题,则设小明回答结束后的总得分为$Y$,从得分期望考虑,
小明应该选择哪类试题回答? 请说明理由.

答案： 6.解：
(1)由题设，X的可能取值为0,10,20,30，
$P(X = 0)=\frac{C_3^3}{C_{10}^3}=\frac{1}{120}$，$P(X = 10)=\frac{C_3^2C_7^1}{C_{10}^3}=\frac{7}{40}$，
$P(X = 20)=\frac{C_3^1C_7^2}{C_{10}^3}=\frac{21}{40}$，$P(X = 30)=\frac{C_7^3}{C_{10}^3}=\frac{7}{24}$，
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P $\frac{1}{120}$ $\frac{7}{40}$ $\frac{21}{40}$ $\frac{7}{24}$
所以$E(X)=0×\frac{1}{120}+10×\frac{7}{40}+20×\frac{21}{40}+30×\frac{7}{24}=21$.
(2)设$\xi$表示小明回答B类试题中答对的题数，易知$\xi\simB(3,\frac{11}{30})$，故$E(\xi)=3×\frac{11}{30}=\frac{11}{10}$.又$Y = 20\xi$，所以$E(Y)=20E(\xi)=22$.因为$E(X)＜E(Y)$，所以小明应该选择B类试
题回答得分更高.