《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

14. 某公司计划在 2027 年年初将 200 万元用于投资,现有两个项目供选择. 项目一:新能源汽车,据市场调研,若投资到该项目上,则到年底可能获利 30％,也可能亏损 15％,且这两种情况发生的概率分别为 $\frac{7}{9}$ 和 $\frac{2}{9}$;项目二:通信设备,据市场调研,若投资到该项目上,则到年底可能获利 50％,可能损失 30％,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 $\frac{3}{5}$,$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{15}$.
(1) 针对以上两个投资项目,请你为公司投资选择一个合理的项目,并说明理由.
(2) 若市场预期不变,该投资公司按照(1)中选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),则大约在哪一年的年底总资产(利润 + 本金)可以翻两番? (参考数据: $\lg 2 \approx 0.301 0$,$\lg 3 \approx 0.477 1$)

答案： 14. 解：
(1) 若投资项目一，设获利$\xi_1$万元，则$\xi_1$的分布列为
$\begin{matrix}\xi_1&60& - 30\\P&\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}$
则$E(\xi_1)=60 × \frac{7}{9}+(-30) × \frac{2}{9}=40$。
若投资项目二，设获利为$\xi_2$万元，则$\xi_2$的分布列为
$\begin{matrix}\xi_2&100&0& - 60\\P&\frac{3}{5}&\frac{1}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}$
则$E(\xi_2)=100 × \frac{3}{5}+0 × \frac{1}{15}+(-60) × \frac{1}{3}=40$，因此$E(\xi_1)=E(\xi_2)$。$D(\xi_1)=(60 - 40)^2 × \frac{7}{9}+(-30 - 40)^2 × \frac{2}{9}=1400$，$D(\xi_2)=(100 - 40)^2 × \frac{3}{5}+(0 - 40)^2 × \frac{1}{15}+(-60 - 40)^2 × \frac{1}{3}=5600$，则$D(\xi_1)＜D(\xi_2)$。这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该公司选择项目一进行投资.
(2) 假设$n(n \in N^*)$年后总资产可以翻两番，依题意，$200 ×(1 + \frac{40}{200})^n = 800$，即$1.2^n = 4$，两边取对数，得$n · \lg 1.2 = \lg 4$，则$n = \frac{\lg 4}{2\lg 2 + \lg 3 - 1} \approx 7.6106$。因为$2027 + 7 = 2034$，所以大约在 2034 年年底总资产可以翻两番.
核心笔记
1. 求离散型随机变量的方差的步骤：在求解出的离散型随机变量期望的基础上，利用公式计算方差.（练习运用：第 1，4 题）
2. 求离散型随机变量的方差的方法：
(1) 由随机变量分布列，利用方差的定义求解.（练习运用：第 1,4 题）
(2) 利用随机变量的性质$D(aX + b)=a^2D(X)$求解.（练习运用：第 2 题）
(3) 利用公式$D(X)=\sum_{i = 1}^{n}x_i^2p_i-(E(X))^2$可以简化方差的运算.（练习运用：第 1,8 题）
3. 利用均值、方差进行决策的两个策略：
(1) 当均值不同时，两个随机变量取值的水平差异明显，可对问题作出判断；
(2) 若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度.（练习运用：第 6 题）