《2025年小题狂做高中数学选择性必修第三册人教版》

2. [2024 四川内江模拟]当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响生活的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额$x$(单位：百万元)与其年销售量$Y$(单位：千件)的数据统计表.

(1)若该公司科研团队计划用方案①$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$作为年销售量$Y$关于年投资额$x$的经验回归分析模型，请根据统计表的数据及参考公式，确定该经验回归方程.
(2)若该公司科研团队计划用方案②$\hat{y}=e^{0.59x - 1.27}$作为年销售量$y$关于年投资额$x$的经验回归分析模型，$\hat{y}=e^{0.59x - 1.27}$的残差平方和$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}=0.1122$.请根据统计表的数据及参考公式，比较两种模型的拟合效果，哪种更好?并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为$6$百万元时，产品的销售量约为多少?(计算结果保留小数点后两位)
参考公式及数据：$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i}-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$，$R^{2}=1-\frac{\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^{2}}$，$e^{2.27}\approx9.68$，$e^{2.28}\approx9.78$.

答案： 解：
(1)由题意$\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$，
$\bar{y} =$
$\frac{0.5 + 1 + 1.5 + 3 + 5.5}{5} =$
$2.3$，$\hat{b} =$
$\frac{1 × 0.5 + 2 × 1 + 3 × 1.5 + 4 × 3 + 5 × 5.5 - 5 × 3 × 2.3}{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} - 5 × 3^{2}} = 1.2$，
$\hat{a} = 2.3 - 1.2 × 3 = - 1.3$，所以经验回归方程为$\hat{y} = 1.2x -$
$1.3$.
(2)由
(1)可得$\hat{y} = 1.2x - 1.3$.根据题意可得如下数据：
$x$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$y$ $0.5$ $1$ $1.5$ $3$ $5.5$
$\hat{y}$ $- 0.1$ $1.1$ $2.3$ $3.5$ $4.7$
方案①的残差平方和为$0.{6}^{2} + 0.{1}^{2} + ( - 0.8)^{2} +$
$( - 0.5)^{2} + 0.{8}^{2} = 1.9$，由于$1.9 ＞ 0.1122$，故方案②非线性
回归方程拟合效果更好.当$x = 6$时，$y = e^{0.59 × 6 - 1.27} = e^{2.27} \approx$
$9.68$(千件)，故当年投入额为$6$百万元时，产品的销售量约
为$9.68$千件.