《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

5. 问题背景：“半角模型”问题. 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系.
(1)探究发现：小明同学的方法是延长FD到点G. 使DG=BE. 连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出结论：____；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)尝试应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，请探究线段BE，EF，DF具有怎样的数量关系，并证明.

答案：
5. 解：
(1)EF = BE + FD；【解析】
∵ BE = DG，∠ABE
= ∠ADG = ∠ADC = 90°，AB = AD，
∴ △ABE≌
△ADG（SAS），
∴ AE = AG，∠BAE = ∠DAG，
∴ ∠BAE + ∠DAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAD -
∠EAF = 60°.
∴ ∠GAF = ∠EAF = 60°. 又
∵ AF =
AF，
∴ △AGF≌△AEF(SAS)，
∴ FG = EF.
∵ FG =
DF + DG，
∴ EF = BE + FD.
(2)
(1)中的结论仍然成立. 证明：如图2，延长 CB 至
M，使 BM = DF，连接 AM.
∵ ∠ABC + ∠D = 180°，
∠1 + ∠ABC = 180°，
∴ ∠1 = ∠D，在△ABM 和
△ADF 中，$\begin{cases} AB = AD,\\ ∠1 = ∠D,\\ BM = DF, \end{cases}$
∴ △ABM ≌ △ADF
(SAS).
∴ AF = AM，∠2 = ∠3.
∵ ∠EAF =
$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠2 + ∠4 = $\frac{1}{2}$∠BAD = ∠EAF.
∴ ∠3
+ ∠4 = ∠EAF，即 ∠MAE = ∠EAF. 在△AME 和
△AFE 中，$\begin{cases} AM = AF,\\ ∠MAE = ∠FAE,\\ AE = AE, \end{cases}$
∴ △AME≌△AFE
(SAS)，
∴ EF = ME，
∵ ME = BE + BM，
∴ EF = BE
+ DF；
(3)EF = BE - FD. 证明：如图3，在 BE 上截取 BG，
使 BG = DF，连接 AG.
∵ ∠B + ∠ADC = 180°，
∠ADF + ∠ADC = 180°，
∴ ∠B = ∠ADF. 在△ABG
和 △ADF 中，$\begin{cases} AB = AD,\\ ∠ABG = ∠ADF,\\ BG = DF, \end{cases}$
∴ △ABG ≌
△ADF（SAS），
∴ ∠BAG = ∠DAF，AG = AF.
∴ ∠BAG + ∠EAD = ∠DAF + ∠EAD = ∠EAF =
$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴ ∠GAE = ∠EAF.
∵ AE = AE，
∴ △AEG≌△AEF(SAS)，
∴ EG = EF，
∵ EG = BE
- BG，
∴ EF = BE - FD.