《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

8. 阅读下面解题过程：已知$\frac{x}{x^2 + 1} = \frac{2}{5}$，求$\frac{x^2}{x^4 + 1}$的值。
解：$\because \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{2}{5}(x \neq 0)$，$\therefore \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{2}{5}$，即$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$。
$\therefore \frac{x^2}{x^4 + 1} = \frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{(x + \frac{1}{x})^2 - 2} = \frac{1}{(\frac{5}{2})^2 - 2} = \frac{4}{17}$。
请借鉴上面的方法解答下面的题目：已知$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = 2$，求$\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$的值。

答案： 8. 解：$\because \frac{x}{x^{2} - 3x + 1} = 2$，$\therefore \frac{1}{x - 3 + \frac{1}{x}} = 2$，$\therefore x - 3 + \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$，
$\therefore x + \frac{1}{x} = \frac{7}{2} \quad \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 1} =$
$\frac{1}{(x + \frac{1}{x})^{2} - 1} - (\frac{7}{2})^{2} - 1 = \frac{4}{45}$

9. 【过程性学习·分式的化简】以下是庄同学化简分式$(\frac{x + 1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x + 2}) ÷ \frac{3}{x - 2}$的部分运算过程：
解：原式$= [\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1}{x + 2}] · \frac{x - 2}{3} ·s$ ①
$= [\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1}{(x + 2)(x - 2)}] · \frac{x - 2}{3} ·s$ ②
$= \frac{x + 1 - 1}{(x + 2)(x - 2)} · \frac{x - 2}{3} ·s$ ③
$·s$
(1) 上面的运算过程中第②步开始出现了错误；
(2) 请你写出完整的解答过程，并求出当$x = 1$时，原分式的值。

答案： 9. 解：
(1)②；
(2)原式$=\left[ \frac{x + 1}{(x + 2)(x - 2)} - \frac{1}{x + 2} \right] · \frac{x - 2}{3} =$
$=\left[ \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 2)(x - 2)} \right] · \frac{x - 2}{3} = \frac{3}{(x + 2)(x - 2)} · \frac{x - 2}{3} =$
$\frac{1}{x + 2}$，当$x = 1$时，原式$=\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$。