《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

23. 【综合与实践·模型应用】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为 90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型. 当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形.
【模型呈现】
（1）如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，过点 C 作直线 DE，AD⊥DE 于点 D，BE⊥DE 于点 E，猜想 AD，BE 与 DE 之间满足的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图 2，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，过点 C 作直线 CE，过点 A 作 AD⊥CE 于点 D，过点 B 作 BE⊥CE 于点 E，AD = 10，BE = 4，则 DE 的长为 6；
【深入探究】
（3）如图 3，∠BAD = ∠CAE = 90°，AB = AD，AC = AE，连接 BC，DE，且 BC⊥AF 于点 F，DE 与直线 AF 交于点 G. 若 BC = 21，AF = 12，求△ADG 的面积.
弥封线内不得答题

答案： 23.解：
(1)$AD$，$BE$与$DE$之间满足的数量关系是：$AD + BE = DE$.理由如下：如图1，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$\therefore\angle1 + \angle3 = 90^{\circ}$，$\because AD\perp DE$于点$D$，$BE\perp DE$于点$E$，$\therefore\angle D = \angle E = 90^{\circ}$，$\therefore\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$，$\therefore\angle2 = \angle3$，在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle D=\angle E = 90^{\circ}\\\angle2=\angle3\\AC = CB\end{cases}$，$\therefore\triangle ACD\cong\triangle CBE(AAS)$，$\therefore AD = CE$，$CD = BE$，$\therefore AD + BE = CE + CD = DE$；
(2)6；【解析】如图2，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$\therefore\angle1 + \angle2 = 90^{\circ}$，$\because AD\perp CE$于点$D$，$BE\perp CE$于点$E$，$\therefore\angle ADC = \angle E = 90^{\circ}$，$\therefore\angle2 + \angle3 = 90^{\circ}$，$\therefore\angle3 = \angle1$，在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle ADC=\angle E = 90^{\circ}\\\angle3=\angle1\\AC = CB\end{cases}$，$\therefore\triangle ACD\cong\triangle CBE(AAS)$，$\therefore CD = BE$，$AD = CE$，$\therefore DE = CE - CD = AD - BE$，$\because AD = 10$，$BE = 4$，$\therefore DE = 6$.
(3)过点$D$作$DP\perp$直线$FG$于点$P$，过点$E$作$EQ\perp$直线$FG$于点$Q$，如图3，同
(1)证得$\triangle ABF\cong\triangle DAP$，$\triangle ACF\cong\triangle EAQ$，$\therefore BF = AP$，$AF = DP$，$CF = AQ$，$AF = EQ$，$\therefore BC = BF + CF = AP + AQ = AP + AP + PQ = 2AP + PQ$，$AF = DP = EQ$，$\because BC = 21$，$AF = 12$，$\therefore2AP + PQ = 21$，$DP = EQ = 12$，$\because DP\perp$直线$FG$，$EQ\perp$直线$FG$于点$Q$，$\therefore\angle DPG = \angle EQG = 90^{\circ}$，在$\triangle DPG$和$\triangle EQG$中，$\begin{cases}\angle DGP=\angle EGQ\\\angle DPG=\angle EQG\\DP = EQ\end{cases}$，$\therefore\triangle DPA\cong\triangle EQG(AAS)$，$\therefore PG = QG$，$\therefore PQ = 2PG$，$\therefore2AP + 2PG = 21$，$\therefore AG = AP + PG = \frac{21}{2}$，$\therefore\triangle ADG$的面积为$\frac{1}{2}AG· DP = \frac{1}{2}×\frac{21}{2}×12 = 63$.