《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

18. 已知，如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB = BC，点 P 在 BD 上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是 M，N. 试说明：PM = PN.

答案： 18.证明：$\because BD$为$\angle ABC$的平分线，$\therefore\angle ABD = \angle CBD$，在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}AB = CB\\\angle ABD=\angle CBD\\BD = BD\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle CBD(SAS)$，$\therefore\angle ADB = \angle CDB$，$\because$点$P$在$BD$上，$PM\perp AD$，$PN\perp CD$，$\therefore PM = PN$.

19. 【日常生活情境·测量】小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如图，点 B，F，C，E 在直线 l 上（点 F，C 之间的距离为池塘的长度），点 A，D 在直线 l 的异侧，且 AB//DE，∠A = ∠D，测得 AB = DE.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若 BE = 108 m，BF = 24 m，求池塘 FC 的长度。

答案： 19.解：
(1)证明：$\because AB// DE$，$\therefore\angle ABC = \angle DEF$，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}\angle A=\angle D\\AB = DE\\\angle ABC=\angle DEF\end{cases}$，$\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(ASA)$；
(2)$\because\triangle ABC\cong\triangle DEF$，$\therefore BC = EF$，$\because BC = BF + CF$，$EF = CE + CF$，$\therefore BF = CE$，$\because BE = BF + CF + CE$，$BE = 108m$，$BF = 24m$，$\therefore108 = 24 + CF + 24$，解得$CF = 60$，$\therefore$池塘$FC$的长度为$60m$.

20. 如图：在△ABC 中，BE，CF 分别是 AC，AB 两边上的高。
（1）求证：∠ABE = ∠ACF；
（2）当△ABD≌△GCA 时，AD 与 AG 的位置关系如何，请说明理由。

答案： 20.解：
(1)证明：$\because BE\perp AC$，$CF\perp AB$，$\therefore\angle AEB = \angle AFC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle BAE + \angle ABE = 90^{\circ}$，$\angle ACF + \angle CAF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ABE = \angle ACF$；
(2)$AD\perp AG$.理由如下：$\because\triangle ABD\cong\triangle GCA$，$\therefore\angle ADB = \angle GAC$，$\because\angle ADB$是$\triangle ADE$的一个外角，$\therefore\angle ADB = \angle DAE + \angle AEB$，$\because\angle GAC = \angle GAD + \angle DAE$，$\therefore\angle AEB = \angle GAD = 90^{\circ}$，$\therefore AD\perp AG$.