《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

10. 若关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2} - 3 = \frac{m}{2 - x}$的解为正数，则实数$m$的取值范围为（D）
A.$m ＞ -3$
B.$m ＞ -3$且$m \neq -2$
C.$m ＞ -6$
D.$m ＞ -6$且$m \neq -2$

答案： 10.D 【解析】方程两边乘$(x - 2)$,得$x - 3(x - 2)= -m$,解得$x = 3+\frac{m}{2}$.$\because$关于$x$的分式方程$\frac{x}{x - 2}=3=\frac{m}{2 - x}$的解为正数，$\therefore3+\frac{m}{2}＞0$且$3+\frac{m}{2}\neq2$.$\therefore m ＞ - 6$且$m\neq - 2$.故选:D.

11. 请写出一个使分式$\frac{a^{2} - 4}{a}$有意义的$a$的值1.

答案： 11.1（答案不唯一） 【解析】由条件可知$a\neq0$,不妨令$a = 1$.故答案为:1(答案不唯一).

12. 分式方程$\frac{1}{x + 2} = \frac{5}{x}$的解是$-\frac{5}{2}$.

答案： 12. $-\frac{5}{2}$ 【解析】$\frac{1}{x + 2}=\frac{5}{x}$,方程两边乘$x(x + 2)$,得$x = 5(x + 2)$,解得$x=-\frac{5}{2}$.检验：当$x=-\frac{5}{2}$时，$x(x + 2)\neq0$.所以，原分式方程的解为$x=-\frac{5}{2}$.故答案为：$-\frac{5}{2}$.

13. 甲、乙两港口相距 50 千米，一艘轮船从甲港口顺流航行至乙港口，又立即从乙港口逆流返回甲港口，共用 8 小时，已知水流速度为 4 km/h，若设该轮船在静水中的速度为$x$ km/h，则可列方程为$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x - 4}=8$.

答案： 13.$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x - 4}=8$ 【解析】由题意，可得该轮船在静水中的速度为$xkm/h$,顺流时间为:$\frac{50}{x + 4}h$,逆流时间为:$\frac{50}{x - 4}h$,所列方程为:$\frac{50}{x + 4}+\frac{50}{x - 4}=8$.故答案为:$\frac{50}{x + 4}+\frac{50}{x - 4}=8$.

14. 已知$P = \frac{6a + 6}{a^{2} - 2a + 1}$，$Q = \frac{2}{a - 1}$.
（1）计算$P ÷ (1 + Q) = $$\frac{6}{a - 1}$；
（2）若$P ÷ (1 + Q)$的值为正整数. 则满足条件的所有整数$a$的和为16.

答案： 14.
(1)$\frac{6}{a - 1}$
(2)16 【解析】
(1)由题意，可得$P÷(1 + Q)=\frac{6(a + 1)}{a^{2}-2a + 1}÷(1+\frac{2}{a - 1})=\frac{6(a + 1)}{(a - 1)^{2}}·\frac{a - 1}{a + 1}=\frac{6}{a - 1}$;
(2)$\because P÷(1 + Q)$的值为正整数，$a$为整数，$\therefore a - 1 = 1$或2或3或6，$\therefore$符合题意的$a = 2,3,4,7$,$\therefore$满足条件的所有整数$a$的和为$2 + 3 + 4 + 7 = 16$.故答案为：
(1)$\frac{6}{a - 1}$
(2)16.

15. 化简：$\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1} - (1 - \frac{1}{x})$.

答案： 15.解:原式$=\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)(x - 1)}-\frac{x - 1}{x}=\frac{x - 1}{x + 1}-\frac{x - 1}{x}=\frac{x(x - 1)-(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)}=\frac{x^{2}-x - x^{2}-1}{x(x + 1)}=\frac{1 - x}{x^{2}+x}$.