《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

23. （1）已知：如图 1 的图形我们把它称为“8 字形”，试说明：∠A + ∠B = ∠C + ∠D；
（2）如图 2，① AP，CP 分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B = 36°，∠D = 16°，求∠P 的度数（写出推理过程）；
② AP，CP 分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P 三者的数量关系，并证明。

答案： 23.解：
(1)证明：
∵∠A + ∠B + ∠AOB = 180°，
∴∠A + ∠B = 180°−∠AOB.同理可得，∠C + ∠D = 180°−∠COD，又
∵∠AOB = ∠COD，
∴∠A + ∠B = ∠C + ∠D;
(2)①由
(1)知，∠BAP + ∠B = ∠BCP + ∠P，∠DAP + ∠P = ∠PCD + ∠D，
∴∠BAP−∠BCP = ∠P−∠B，∠DAP−∠PCD = ∠D−∠P.又
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP = ∠DAP，∠BCP = ∠DCP，
∴∠BAP−∠BCP = ∠DAP−∠PCD，即∠P−∠B = ∠D−∠P，
∴∠P = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠D).又
∵∠B = 36°，∠D = 16°，
∴∠P = $\frac{1}{2}$×(36° + 16°) = 26°;
②∠P = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠D).证明：由
(1)知，∠BAP + ∠B = ∠BCP + ∠P，∠DAP + ∠P = ∠PCD + ∠D，
∴∠BAP−∠BCP = ∠P−∠B，∠DAP−∠PCD = ∠D−∠P.又
∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP = ∠DAP，∠BCP = ∠DCP，
∴∠BAP−∠BCP = ∠DAP−∠PCD，即∠P−∠B = ∠D−∠P，
∴∠P = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠D).