《2025年安徽阳光夺冠单元与期末真题精选大试卷八年级数学上册人教版》

9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE=BD，AE与BC交于点F，与BD交于点O.
(1)求证：CE=AD；
(2)BD与AE有怎样的位置关系？证明你的结论；
(3)若BD平分∠ABC，求证：AD=CF.

答案： 9. 解：
(1)证明：在Rt△ABD和Rt△CAE中，$\begin{cases}BD=AE,\\AB=CA,\end{cases}$
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，
∴CE=AD；
(2)BD⊥AE.证明：
∵Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠CAE+∠ADB=90°，
∴∠AOD=90°，
∴BD⊥
AE；
(3)证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，又
∵∠ABD=∠CAE，
∴∠CBD=∠CAE，又
∵∠AOD=
∠BOF，
∴∠ADB=∠OFB=∠CFE，
∵Rt△ABD
≌Rt△CAE，
∴∠ADB=∠E，
∴∠CFE=∠E，
∴CE=CF.又由
(1)知CE=AD，
∴AD=CF.

10. 如图，已知△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，点D为AB的中点. 如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

答案： 10. 解：
(1)△BPD与△CQP全等.理由如下：经过1
秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵AB=
AC，
∴∠ABC=∠ACB，在△BPD和△CQP中，$\begin{cases}BD=CP,\\∠ABC=∠ACB,\\BP=CQ,\end{cases}$
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
(2)设点Q的运动速度为xcm/s(x≠3)，经过ts
△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=
(8-3t)cm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情
况：①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=
xt，解得x=3，
∵x≠3，
∴舍去此情况；②当BD=
CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得x=$\frac{15}{4}$；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/s时，能够使△BPD
与△CQP全等.